Tips och lösning till U 9.4a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Här gäller det att se ett mönster.
Tips 2
Lägg märke till att om du summerar elementen i en rad eller en kolonn så blir det samma uttryck. Försök att utnyttja det!
Tips 3
Addera tex alla kolonner till kolonn 1 och bryt ut 5+x. Detta leder till ettor i kolonn 1. Nu är det lätt att få fram nollor i kolonn 1.Fortsätt att leta efter nollor eller skapa nollor.
Lösning
Kalla determinaten \displaystyle D . Vi adderar alla kolonner till kolonn 1 och får
D=\left|\begin{array}{rrrr}x&2&1&2\\2&1&2&x\\1&2&x&2\\2&x&2&1\end{array}\right| =\left|\begin{array}{cccc}5+x&2&1&2\\5+x&1&2&x\\5+x&2&x&2\\5+x&x&2&1\end{array}\right| =(5+x) \left|\begin{array}{cccc}1&2&1&2\\1&1&2&x\\1&2&x&2\\1&x&2&1\end{array}\right|.
Vi utför nu radoperationer längs kolonn 1:
D=(5+x)\left|\begin{array}{cccc}1&2&1&2\\0&-1&1&x-2\\0&0&x-1&0\\0&x-2&1&-1\end{array}\right|.
Vi utveklar först längs kolonn 1 och därefter längs rad 2:
D=(5+x) \left| \begin{array}{rrr} -1&1&x-2\\0&x-1&0\\x-2&1&-1\end{array}\right| =(5+x)(x-1) \left|\begin{array}{rr} -1&x-2\\x-2&-1\end{array}\right| =(5+x)(x-1)^2(x-3).
Alltså är \displaystyle D=0 för \displaystyle x=-5,1,1,3 .
