Tips och lösning till U 9.7a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Sats 8.17 är viktig för att lösa denna typ av problem.
Tips 2
Du använder 1 och 3 i satsen och reducerar problemet till att undersöka om en viss determinant är skild från noll eller inte.
Tips 3 Låt nu vektorerna bilda kolonner i en determinant. Skaffa nollor i rad 1 genom att utnyttja ettan i kolonn 3.
Lösning
Enligt Sats 8.17, så är vektorerna
\displaystyle \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0\\4\\5\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
linjärt oberoende om determinanten för matrisen som har dem som kolonner är skilt från
noll. Vi skaffar en nolla till i rad 1
genom att addera \displaystyle (-3) gånger kolonn 3 till kolonn 1:
\left| \begin{array}{rrr} 3& 0& 1\\ 1& 4& 2\\ 2& 5& 3\end{array}\right| =\left| \begin{array}{rrr} 0& 0& 1\\ -5& 4& 2\\ -7& 5& 3 \end{array}\right| = (-1)^{(1+3)}\cdot 1 \cdot \left| \begin{array}{rr} -5& 4\\ -7& 5\end{array}\right|=3\neq0.
Alltså är vektorerna linjärt oberoende.
