Tips och lösning till U 11.8

Tips 1

Om vi tar bort en variabel så känner vi igen ekvationen för ett plan. I detta fall kan man tänka på två olika sätt. Trots att vi nu arbetar i 4 dimensioner så kan du ändå rita i tre för att få ett stöd för tanken.

Tips 2

I det först alternativet så sätter du helt enkelt in dina fyra punkter i planets ekvation. Detta leder till fyra ekvationer och fem obekanta. I det andra alternativet så bildar vi vektorer som utgår från \displaystyle P_0=(1,1,1,1) får vi

\displaystyle

\boldsymbol{u}_1=\overrightarrow{P_1P_0}=\left(\begin{array}{r}1\\2\\1\\1\end{array}\right),\quad \boldsymbol{u}_2=\overrightarrow{P_2P_0}=\left(\begin{array}{r}3\\4\\3\\5\end{array}\right),\quad \boldsymbol{u}_3=\overrightarrow{P_3P_0}=\left(\begin{array}{r}-1\\0\\2\\3\end{array}\right).

. Kan du se att dessa vektorer är linjärt oberoende? Vi kallar hyperplanet för \displaystyle W . Att bestämma planets ekvation innebär att vi skall finna ett samband för koordinaterna till punkter i planet. Kalla dessa punkter för \displaystyle Q=(x_1,x_2,x_3,x_4) . Teckna nu ett villkor för att \displaystyle Q skall ligga i planet.

Tips 3

Villkoret blir \displaystyle \boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_0Q}=(x_1-1,x_2-1,x_3-1,x_4-1)^t\in W . För att denna vektor skall ligga i planet skall den den vara en linjärkombination av de tre vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}_1, \displaystyle \boldsymbol{u}_2 och \displaystyle \boldsymbol{u}_3.

Lösning

Alternativ 1: Genom att sätt in de 4 punkterna i ekvationen fås ett \displaystyle 4\times5 ekvationssystem i de obekanta \displaystyle A , \displaystyle B , \displaystyle C , \displaystyle D och \displaystyle E .

Detta är ett underbestämd ekvationssystem med färre ekvationer än obekanta som alltid har icke-trivial lösning.

Alternativ 2: Kalla hyperplanet \displaystyle W . Bildar vi vektorer som utgår från \displaystyle P_0=(1,1,1,1) får vi

\displaystyle

\boldsymbol{u}_1=\overrightarrow{P_1P_0}=\left(\begin{array}{r}1\\2\\1\\1\end{array}\right),\quad \boldsymbol{u}_2=\overrightarrow{P_2P_0}=\left(\begin{array}{r}3\\4\\3\\5\end{array}\right),\quad \boldsymbol{u}_3=\overrightarrow{P_3P_0}=\left(\begin{array}{r}-1\\0\\2\\3\end{array}\right).

Dessa är linjärt oberoende och då är \displaystyle W=[\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3] .

Vi bestämmer ekvationen för \displaystyle W . Punkten \displaystyle Q=(x_1,x_2,x_3,x_4) ligger i \displaystyle W om vektorn

\displaystyle \boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_0Q}=(x_1-1,x_2-1,x_3-1,x_4-1)^t\in W

dvs

\displaystyle

\boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{u}_1+\lambda_2\boldsymbol{u}_2+\lambda_3\boldsymbol{u}_3 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1&3&-1\\2&4&0\\1&3&2\\1&5&3 \end{array}\right|\left. \begin{array}{l} x_1-1\\x_2-1\\x_3-1\\x_4-1\end{array}\right) \Leftrightarrow

\displaystyle

\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1&3&-1\\0&-2&2\\0&0&3\\0&0&0 \end{array}\right|\left. \begin{array}{l} x_1-1\\-2x_1+x_2-1\\x_3-x_1\\-x_1+x_2-2x_3+x_4+1 \end{array}\right).

Alltså \displaystyle Q\in W om \displaystyle Q uppfyller

\displaystyle

x_1-x_2+2x_3-x_4=1.