Tips och lösning till U 13.9
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi ska först bestämma dimensionen på rummet så att vi vet hur många basvektorer vi behöver.
Tips 2
Eftersom vektorerna inte är parallella så är dimensionen två. Vi väljer en av vektorerna som den första basvektorn. Här har vi alltså två val. Vi väljer den första (vilket 9 av 10 gör!)
Tips 3
Normera nu denna vektor dvs låt \displaystyle \boldsymbol{e}_1=\frac{1}{||\boldsymbol{v}_1||}\boldsymbol{v}_1=\frac{1}{\sqrt{6}}(2,1,0,1)^t . Detta är vår första basvektor. Nu skall vi välja den andra som har två villkor på sig. Det första är att den skall vara ortogonal mot den första, men skall dessutom garantera att de två tillsammans spänner upp underrummet. En vektor som fyller de kraven är hjälpvektorn\begin{array}{rcl}
\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{v}_2-(\boldsymbol{v}_2|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1\\
&=&\left(\begin{array}{r}4\\-5\\1\\3\\\end{array}\right)
-\frac{1}{6}\left\{\left(\begin{array}{r}4\\-5\\1\\3\\\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{r}2\\1\\0\\1\\\end{array}\right)\right\}
\left(\begin{array}{r}2\\1\\0\\1\\\end{array}\right)\\
&=&\left(\begin{array}{r}4\\-5\\1\\3\\\end{array}\right)
-\left(\begin{array}{r}2\\1\\0\\1\\\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{r}2\\-6\\1\\2\\\end{array}\right)
\end{array}
Lösning
Underrummet \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1=(2,1,0,1)^t,\boldsymbol{v}_2=(4,-5,1,3)^t] .
Eftersom \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 är inte parallella så är med \displaystyle \dim W=2 .
Vi använder Gram-Schmidt prosess för att bestämma en ON-bas i \displaystyle W .
Låt \displaystyle \boldsymbol{e}_1=\frac{1}{||\boldsymbol{v}_1||}\boldsymbol{v}_1=\frac{1}{\sqrt{6}}(2,1,0,1)^t .
Vi bildar hjälpvektorn
\begin{array}{rcl}
\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{v}_2-(\boldsymbol{v}_2|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1\\
&=&\left(\begin{array}{r}4\\-5\\1\\3\\\end{array}\right)
-\frac{1}{6}\left\{\left(\begin{array}{r}4\\-5\\1\\3\\\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{r}2\\1\\0\\1\\\end{array}\right)\right\}
\left(\begin{array}{r}2\\1\\0\\1\\\end{array}\right)\\
&=&\left(\begin{array}{r}4\\-5\\1\\3\\\end{array}\right)
-\left(\begin{array}{r}2\\1\\0\\1\\\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{r}2\\-6\\1\\2\\\end{array}\right)
\end{array}
Normera, så att \displaystyle \boldsymbol{e}_2=\frac{1}{||\boldsymbol{f}_2||}\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3\sqrt5}(2,-6,1,2)^t . Alltså är \displaystyle \boldsymbol{e}_1 och \displaystyle \boldsymbol{e}_2 en ON.bas i \displaystyle W .
