Tips och lösning till U 22.17b

Tips 1

Här gäller det att genomskåda vad som skall göras. Annars blir arbetet gigantiskt ( och orimligt).

Tips 2

Vi ska alltså ta fram avbildningsmatrisen \displaystyle A^{1789}. För att göra detta börjar vi med observationen att \displaystyle A^2=TDT^t TDT^t=TD^2T^t, och vidare gäller att \displaystyle A^{1789}=...........=TD^{1789}T^t,

Tips 3

Diagonalmatrisen reagerar enkelt på multiplikation med sig själv och detta i kombination med att egenvärdena är ettor och minusettor så blir problemet rimligt att lösa. Vi erhåller \displaystyle

D^{1789}= \left(\begin{array}{llc} 0^{1789}&0&0\\ 0&1^{1789}&0\\ 0&0&(-1)^{1789} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1 \end{array}\right) =D,

Lösning

Eftersom avbildningen \displaystyle F^2 har matrisen \displaystyle A^2 som ges av

\displaystyle

A^2=TDT^t TDT^t=TD^2T^t,

och därmed har \displaystyle F^3 matrisen \displaystyle A^3=TD^2T^t o.s.v., så har avbildningen \displaystyle F^{1789} matrisen \displaystyle A^{1789}=TD^{1789}T^t .

Vidare gäller att eftersom

\displaystyle

D^{1789}= \left(\begin{array}{llc} 0^{1789}&0&0\\ 0&1^{1789}&0\\ 0&0&(-1)^{1789} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1 \end{array}\right) =D,

så har \displaystyle F^{1789} matrisen \displaystyle A^{1789}=TD^{1789}T^t=TDT^t=A , dvs \displaystyle F^{1789}=F .