Tips och lösning till övning 17.28

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
 +
Villkoret betyder att<math>N(F)</math> och <math>V(F)</math> skall ha gemensamma element. Då får inte dim<math>N(F)=0</math>. Alltså måste dim<math>N(F)</math> minst vara 1.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
 +
 +
Det betyder att dim<mathV(F)\leq2</math>, men detta innebär att kolonnerna i matrisen är linjärt beroende.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
 +
 +
Ett kriterium för linjärt beroende är att matrisens determinant =0, vilket ger krav på konstanten a.
Rad 17: Rad 22:
Vi vet att <math>F(\boldsymbol{e}_1)</math>, <math>F(\boldsymbol{e}_2)</math>, och <math>F(\boldsymbol{e}_3)</math> spänner upp <math>V(F)</math> samt bildar kolonnerna i avbildningsmatrisen <math>A</math>
Vi vet att <math>F(\boldsymbol{e}_1)</math>, <math>F(\boldsymbol{e}_2)</math>, och <math>F(\boldsymbol{e}_3)</math> spänner upp <math>V(F)</math> samt bildar kolonnerna i avbildningsmatrisen <math>A</math>
till <math>F</math>. Om dim<math>V(F)=3</math> så är dim<math>N(F)=0</math> och därmed är <math>N(F)\cap V(F)\neq\emptyset</math>. Vi behöver alltså välja <math>a</math> så att
till <math>F</math>. Om dim<math>V(F)=3</math> så är dim<math>N(F)=0</math> och därmed är <math>N(F)\cap V(F)\neq\emptyset</math>. Vi behöver alltså välja <math>a</math> så att
-
dim<math>V(F)\leq2</math> och därmed att <math>F(\boldsymbol{e}_1),</math> <math>F(\boldsymbol{e}_2)</math>, och <math>F(\boldsymbol{e}_3)</math> är linjärt beroende. Detta val av <math>a</math> medför att det<math>A=0.</math> Nu är det<math>A=0</math> för <math>a=3</math>. Alltså får vi <math>A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&6\\3&{-1}&1\end{pmatrix}</math>.
+
dim<mathV(F)\leq2</math>> och därmed att <math>F(\boldsymbol{e}_1),</math> <math>F(\boldsymbol{e}_2)</math>, och <math>F(\boldsymbol{e}_3)</math> är linjärt beroende. Detta val av <math>a</math> medför att det<math>A=0.</math> Nu är det<math>A=0</math> för <math>a=3</math>. Alltså får vi <math>A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&6\\3&{-1}&1\end{pmatrix}</math>.
Vidare får vi <math>N(F)=[(1,2,-1)^t]</math> och <math>V(F)=[(1,2,3)^t,(1,2,-1)^t]</math>. Alltså är <math>N(F)\cap V(F)=[(1,2,-1)^t]</math>.
Vidare får vi <math>N(F)=[(1,2,-1)^t]</math> och <math>V(F)=[(1,2,3)^t,(1,2,-1)^t]</math>. Alltså är <math>N(F)\cap V(F)=[(1,2,-1)^t]</math>.

Versionen från 17 november 2008 kl. 17.35

Tips 1

Villkoret betyder att\displaystyle N(F) och \displaystyle V(F) skall ha gemensamma element. Då får inte dim\displaystyle N(F)=0. Alltså måste dim\displaystyle N(F) minst vara 1.

Tips 2

Det betyder att dim<mathV(F)\leq2</math>, men detta innebär att kolonnerna i matrisen är linjärt beroende.


Tips 3

Ett kriterium för linjärt beroende är att matrisens determinant =0, vilket ger krav på konstanten a.


Lösning


Vi vet att \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3) spänner upp \displaystyle V(F) samt bildar kolonnerna i avbildningsmatrisen \displaystyle A till \displaystyle F. Om dim\displaystyle V(F)=3 så är dim\displaystyle N(F)=0 och därmed är \displaystyle N(F)\cap V(F)\neq\emptyset. Vi behöver alltså välja \displaystyle a så att dim<mathV(F)\leq2</math>> och därmed att \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3) är linjärt beroende. Detta val av \displaystyle a medför att det\displaystyle A=0. Nu är det\displaystyle A=0 för \displaystyle a=3. Alltså får vi \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&6\\3&{-1}&1\end{pmatrix}.

Vidare får vi \displaystyle N(F)=[(1,2,-1)^t] och \displaystyle V(F)=[(1,2,3)^t,(1,2,-1)^t]. Alltså är \displaystyle N(F)\cap V(F)=[(1,2,-1)^t].


Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.28