Tips och lösning till övning 17.35

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Vi gör den inledande observationen att båda baserna är ON-baser. Vi kan då utnyttja sats 16.48. Alltså <math>T^{-1}</math>=<math>T^{t}</math>. Vi söker <math>A_{\boldsymbol{e}}</math> och <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> där <math>A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^{-1}</math>=<math>T^{t}=TA_{\boldsymbol{f}}T^{-1}</math>
+
Vi gör den inledande observationen att båda baserna är ON-baser. Vi kan då utnyttja sats 16.48. Alltså <math>T^{-1}</math>=<math>T^{t}</math>. Vi söker <math>A_{\boldsymbol{e}}</math> och <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> där <math>A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^{-1}</math>=<math>T^{t}=TA_{\boldsymbol{f}}T^{t}</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}

Versionen från 18 november 2008 kl. 17.14

Tips 1

Vi gör den inledande observationen att båda baserna är ON-baser. Vi kan då utnyttja sats 16.48. Alltså \displaystyle T^{-1}=\displaystyle T^{t}. Vi söker \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} och \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} där \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^{-1}=\displaystyle T^{t}=TA_{\boldsymbol{f}}T^{t}

Tips 2


Tips 3


Lösning


Rita figur! Sätter vi \displaystyle x_2=t och löser ut \displaystyle x_1=-2t får vi linjensekvation på parameterform \displaystyle \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}{-2}\\1\end{pmatrix}.

Linjens riktningsvektor är alltså \displaystyle (2,-1)^t. Därmed är \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}{-2}\\1\end{pmatrix} en normerad riktninigsvektor. Eftersom \displaystyle F är en ortogonal projektion på linjen, så kommer dess riktningsvektor att avbildas på sig själv, så att \displaystyle F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}. Vektorn \displaystyle \boldsymbol{f}_2 är ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och är därmed en normal till linjen, den avbildas på nollvektorn, dvs \displaystyle F(\boldsymbol{f}_2)=\boldsymbol{0}. Att \boldsymbol{f}_2 är en normal kan också utläsas ur linjensekvation, ty

\displaystyle x_1+2x_2=0\Leftrightarrow\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{pmatrix}=0.

Avbildningsmatrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} är därmed \displaystyle A_{\boldsymbol{f}}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}. Eftersom \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2 är ortogonala, så är dessa en bas för planet. Bassambandet \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\underline{\boldsymbol{e}}T, där \displaystyle T=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1&2\\2&{-1}\end{pmatrix} och sambandet mellan matriserna ger att

\displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4&{-2}\\{-2}&1\end{pmatrix}.<center>
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.35