Tips och lösning till övning 17.37
SamverkanLinalgLIU
| Rad 1: | Rad 1: | ||
{{NAVCONTENT_START}} | {{NAVCONTENT_START}} | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| + | |||
| + | Följande är en hjälp vid bedömning av de olika matriserna. | ||
| + | |||
| + | 1. Anmärkning 16.66 ger viss vägledning. | ||
| + | |||
| + | 2. Kolonnerna i matriserna är bilderna av basvektorerna som i detta fall är ett HON-system. | ||
| + | |||
| + | 3. Rita en figur. | ||
| Rad 6: | Rad 14: | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| + | <math>A_{1}</math> Enl anmärkning 16.66 är avbildningen en projektion. | ||
| + | |||
| + | <math>A_{2}</math> det<math>A_{2}</math>=3 så anmärkningen ger ingen vägledning. <math>\boldsymbol{e}_1</math> och <math>\boldsymbol{e}_2</math> avbildas på sig själva. Vad händer med <math>\boldsymbol{e}_3</math>? | ||
| + | |||
| + | <math>A_{3}</math> | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| + | <math>A_{1}</math> <math>\boldsymbol{e}_2</math> avbildas på nollvektorn de övriga basvektorerna på sig själva. | ||
| + | |||
| + | <math>A_{2}</math> <math>\boldsymbol{e}_3</math> blir tre gånger längre. Rita figur! | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
Versionen från 19 november 2008 kl. 09.17
Tips 1
Följande är en hjälp vid bedömning av de olika matriserna.
1. Anmärkning 16.66 ger viss vägledning.
2. Kolonnerna i matriserna är bilderna av basvektorerna som i detta fall är ett HON-system.
3. Rita en figur.
Tips 2
\displaystyle A_{1} Enl anmärkning 16.66 är avbildningen en projektion.
\displaystyle A_{2} det\displaystyle A_{2}=3 så anmärkningen ger ingen vägledning. \displaystyle \boldsymbol{e}_1 och \displaystyle \boldsymbol{e}_2 avbildas på sig själva. Vad händer med \displaystyle \boldsymbol{e}_3?
\displaystyle A_{3}
Tips 3
\displaystyle A_{1} \displaystyle \boldsymbol{e}_2 avbildas på nollvektorn de övriga basvektorerna på sig själva.
\displaystyle A_{2} \displaystyle \boldsymbol{e}_3 blir tre gånger längre. Rita figur!
Lösning
a) \displaystyle A_1 är symmetrisk med det\displaystyle A_1=0. Om \displaystyle A_1 är matrisen till \displaystyle F,
så följer av kolonnerna till \displaystyle A_1 att
\displaystyle F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1, \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3)=\boldsymbol{e}_3, och
\displaystyle F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{0}. Alltså är \displaystyle F en ortogonal projektion i det plan som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{e}_1 och \displaystyle \boldsymbol{e}_3
och som har \displaystyle \boldsymbol{e}_2 som normal.
b) \displaystyle \boldsymbol{e}_1 och \displaystyle \boldsymbol{e}_2 avbildas på sig själva eftersom \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1, \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3)=\boldsymbol{e}_3. Vidare sträcks \displaystyle \boldsymbol{e}_2, ty \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2)=3\boldsymbol{e}_2. Alltså är \displaystyle F en sträckning i \displaystyle \boldsymbol{e}_2-led.
c) \displaystyle F är vridning vinkeln \displaystyle \theta moturs kring \displaystyle \boldsymbol{e}_1, se Kapitel 16.5 Rotaion i rummet.
