Tips och lösning till övning 17.39
SamverkanLinalgLIU
| Rad 1: | Rad 1: | ||
{{NAVCONTENT_START}} | {{NAVCONTENT_START}} | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| + | |||
| + | Grundidéen i denna typ av problem är att genomföra ett basbyte så att | ||
| + | *det blir lätt att ta fram avbildningsmatrisen <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i den nya basen | ||
| + | *det är ett byte mellan ON-baser (det blir ju lätt att ta fram inversen till basbytesmatrisen <math>T</math> genom att det räcker att transponera densamma) | ||
| + | |||
| + | Man avslutar sedan uppgiften genom att ta fram avbildningsmatrisen <math>A_{\boldsymbol{e}}</math> för i den ursprungliga basen genom sambandet <math>A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^t</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | c) Vad betyder <math>A_{\boldsymbol{e}}^4</math> geometriskt? Rita figur! | ||
| + | |||
| + | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
| + | '''Tips 2''' | ||
| + | |||
| + | a och b) I den nya HON-basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> låter du <math>\boldsymbol{f}_1</math> vara en enhetsvektor parallell med rotationsaxeln och <math>\boldsymbol{f}_2</math> ortogonal mot <math>\boldsymbol{f}_1</math>. <math>\boldsymbol{f}_3</math> skall vara ortogonal mot det plan som spänns upp av <math>\boldsymbol{f}_1</math> och <math>\boldsymbol{f}_2</math>. Du har nu basbytesmatrisen <math>T</math>. | ||
| + | |||
| + | c) Rotationen i a) skall alltså genomföras 4 gånger. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
| + | '''Tips 3''' | ||
| + | |||
| + | Avbildningsmatriserna <math>A_{\boldsymbol{f}}</math>respektive <math>B_{\boldsymbol{f}}</math> erhålles nu genom att avbilda (rotera) de nya basvektorerna, dvs | ||
| + | |||
| + | a) | ||
| + | * <math>\boldsymbol{f}_1</math> avbildas på <math>\boldsymbol{f}_1</math> | ||
| + | * <math>\boldsymbol{f}_2</math> avbildas på <math>\boldsymbol{f}_3</math> | ||
| + | * <math>\boldsymbol{f}_3</math> avbildas på -<math>\boldsymbol{f}_2</math> | ||
| + | |||
| + | Rita figur! | ||
| + | |||
| + | b) | ||
| + | * <math>\boldsymbol{f}_1</math> avbildas på <math>\boldsymbol{f}_1</math> | ||
| + | * <math>\boldsymbol{f}_2</math> avbildas på -<math>\boldsymbol{f}_1</math> | ||
| + | * <math>\boldsymbol{f}_3</math> avbildas på <math>\boldsymbol{f}_2</math> | ||
| + | |||
| + | Ett alternativ är att genomföra rotationen i a) tre gånger, vilket ger <math>B_{\boldsymbol{e}}=A_{\boldsymbol{e}}^3</math>. Detta kan användas för kontroll. | ||
| + | |||
| + | c) Vi roterar alltså ett helt varv, vilket innebär att bild och urbild är samma vektor. | ||
| + | |||
| + | Rita figur! | ||
Versionen från 19 november 2008 kl. 11.08
Tips 1
Grundidéen i denna typ av problem är att genomföra ett basbyte så att
- det blir lätt att ta fram avbildningsmatrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i den nya basen
- det är ett byte mellan ON-baser (det blir ju lätt att ta fram inversen till basbytesmatrisen \displaystyle T genom att det räcker att transponera densamma)
Man avslutar sedan uppgiften genom att ta fram avbildningsmatrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} för i den ursprungliga basen genom sambandet \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^t
c) Vad betyder \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^4 geometriskt? Rita figur!
Tips 2
a och b) I den nya HON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} låter du \displaystyle \boldsymbol{f}_1 vara en enhetsvektor parallell med rotationsaxeln och \displaystyle \boldsymbol{f}_2 ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{f}_1. \displaystyle \boldsymbol{f}_3 skall vara ortogonal mot det plan som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2. Du har nu basbytesmatrisen \displaystyle T.
c) Rotationen i a) skall alltså genomföras 4 gånger.
Tips 3
Avbildningsmatriserna \displaystyle A_{\boldsymbol{f}}respektive \displaystyle B_{\boldsymbol{f}} erhålles nu genom att avbilda (rotera) de nya basvektorerna, dvs
a)
- \displaystyle \boldsymbol{f}_1 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_1
- \displaystyle \boldsymbol{f}_2 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_3
- \displaystyle \boldsymbol{f}_3 avbildas på -\displaystyle \boldsymbol{f}_2
Rita figur!
b)
- \displaystyle \boldsymbol{f}_1 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_1
- \displaystyle \boldsymbol{f}_2 avbildas på -\displaystyle \boldsymbol{f}_1
- \displaystyle \boldsymbol{f}_3 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_2
Ett alternativ är att genomföra rotationen i a) tre gånger, vilket ger \displaystyle B_{\boldsymbol{e}}=A_{\boldsymbol{e}}^3. Detta kan användas för kontroll.
c) Vi roterar alltså ett helt varv, vilket innebär att bild och urbild är samma vektor.
Rita figur!
Tips 2
Tips 3
Lösning
Byt till en ny höger ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}, där \displaystyle \boldsymbol{f}=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} så att
\displaystyle F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}..
Välj t.ex., \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\{-1}\\0\end{pmatrix} och sedan
\displaystyle \boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{f}_1\times\boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}1\\1\\{-2}\end{pmatrix},
så att
\frac{1}{\sqrt3}&\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt6}\\ \frac{1}{\sqrt3}&-\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt6}\\ \frac{1}{\sqrt3}&0&-\frac{2}{\sqrt6} \end{array}\right)
=\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}{\sqrt2}&{\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&{-\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&0&{-2}\end{pmatrix}.Då är
så att
Avbildningsmatrisen ges av
A_{\boldsymbol{e}}&=TA_{\boldsymbol{f}}T^t=2\frac{1}{\sqrt6}\frac{1}{\sqrt6} \begin{pmatrix}{\sqrt2}&{\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&{-\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&0&{-2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&0&0\\0&{-1}&{-\sqrt3}\\0&{\sqrt3}&{-1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\sqrt2}&{\sqrt2}&{\sqrt2}\\{\sqrt3}&{-\sqrt3}&0\\1&1&{-2}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}.
\end{align}
