Tips och lösning till övning 17.39

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Grundidéen i denna typ av problem är att genomföra ett basbyte så att
+
Grundidéen är densamma som i övning 17.38, dvs du skall genomföra ett basbyte så att
*det blir lätt att ta fram avbildningsmatrisen <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i den nya basen
*det blir lätt att ta fram avbildningsmatrisen <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i den nya basen
*det är ett byte mellan ON-baser (det blir ju lätt att ta fram inversen till basbytesmatrisen <math>T</math> genom att det räcker att transponera densamma)
*det är ett byte mellan ON-baser (det blir ju lätt att ta fram inversen till basbytesmatrisen <math>T</math> genom att det räcker att transponera densamma)
Rad 8: Rad 8:
Man avslutar sedan uppgiften genom att ta fram avbildningsmatrisen <math>A_{\boldsymbol{e}}</math> för i den ursprungliga basen genom sambandet <math>A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^t</math>
Man avslutar sedan uppgiften genom att ta fram avbildningsmatrisen <math>A_{\boldsymbol{e}}</math> för i den ursprungliga basen genom sambandet <math>A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^t</math>
- 
-
c) Vad betyder <math>A_{\boldsymbol{e}}^4</math> geometriskt? Rita figur!
 
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
a och b) I den nya HON-basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> låter du <math>\boldsymbol{f}_1</math> vara en enhetsvektor parallell med rotationsaxeln och <math>\boldsymbol{f}_2</math> ortogonal mot <math>\boldsymbol{f}_1</math>. <math>\boldsymbol{f}_3</math> skall vara ortogonal mot det plan som spänns upp av <math>\boldsymbol{f}_1</math> och <math>\boldsymbol{f}_2</math>. Du har nu basbytesmatrisen <math>T</math>.
+
I den nya HON-basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> låter du <math>\boldsymbol{f}_1</math> vara en enhetsvektor parallell med rotationsaxeln och <math>\boldsymbol{f}_2</math> ortogonal mot <math>\boldsymbol{f}_1</math>. <math>\boldsymbol{f}_3</math> skall vara ortogonal mot det plan som spänns upp av <math>\boldsymbol{f}_1</math> och <math>\boldsymbol{f}_2</math>. Du har nu basbytesmatrisen <math>T</math>.
-
 
+
-
c) Rotationen i a) skall alltså genomföras 4 gånger.
+

Versionen från 19 november 2008 kl. 11.12

Tips 1

Grundidéen är densamma som i övning 17.38, dvs du skall genomföra ett basbyte så att

  • det blir lätt att ta fram avbildningsmatrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i den nya basen
  • det är ett byte mellan ON-baser (det blir ju lätt att ta fram inversen till basbytesmatrisen \displaystyle T genom att det räcker att transponera densamma)

Man avslutar sedan uppgiften genom att ta fram avbildningsmatrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} för i den ursprungliga basen genom sambandet \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^t


Tips 2 

I den nya HON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} låter du \displaystyle \boldsymbol{f}_1 vara en enhetsvektor parallell med rotationsaxeln och \displaystyle \boldsymbol{f}_2 ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{f}_1. \displaystyle \boldsymbol{f}_3 skall vara ortogonal mot det plan som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2. Du har nu basbytesmatrisen \displaystyle T.


Tips 3

Avbildningsmatriserna \displaystyle A_{\boldsymbol{f}}respektive \displaystyle B_{\boldsymbol{f}} erhålles nu genom att avbilda (rotera) de nya basvektorerna, dvs

a)

  • \displaystyle \boldsymbol{f}_1 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_1
  • \displaystyle \boldsymbol{f}_2 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_3
  • \displaystyle \boldsymbol{f}_3 avbildas på -\displaystyle \boldsymbol{f}_2

Rita figur!

b)

  • \displaystyle \boldsymbol{f}_1 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_1
  • \displaystyle \boldsymbol{f}_2 avbildas på -\displaystyle \boldsymbol{f}_1
  • \displaystyle \boldsymbol{f}_3 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_2

Ett alternativ är att genomföra rotationen i a) tre gånger, vilket ger \displaystyle B_{\boldsymbol{e}}=A_{\boldsymbol{e}}^3. Detta kan användas för kontroll.

c) Vi roterar alltså ett helt varv, vilket innebär att bild och urbild är samma vektor.

Rita figur!


Tips 2


Tips 3


Lösning


Byt till en ny höger ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}, där \displaystyle \boldsymbol{f}=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} så att \displaystyle F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.. Välj t.ex., \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\{-1}\\0\end{pmatrix} och sedan \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{f}_1\times\boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}1\\1\\{-2}\end{pmatrix}, så att

\displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\underline{\boldsymbol{e}}T,\quad T=\left(\begin{array}{rrr}

\frac{1}{\sqrt3}&\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt6}\\ \frac{1}{\sqrt3}&-\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt6}\\ \frac{1}{\sqrt3}&0&-\frac{2}{\sqrt6} \end{array}\right)

=\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}{\sqrt2}&{\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&{-\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&0&{-2}\end{pmatrix}.

Då är

\displaystyle F(\boldsymbol{f}_2)=\cos\theta\boldsymbol{f}_2+\sin\theta\boldsymbol{f}_3=-\frac{1}{2}\boldsymbol{f}_2+\frac{\sqrt3}{2}\boldsymbol{f}_3=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}{0}\\{-1/2}\\{\sqrt3/2}\end{pmatrix}
\displaystyle F(\boldsymbol{f}_3)=-\sin\theta\boldsymbol{f}_2+\cos\theta\boldsymbol{f}_3=-\frac{\sqrt3}{2}\boldsymbol{f}_2+\frac{1}{2}\boldsymbol{f}_3=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}{0}\\{-\sqrt3/2}\\{1/2}\end{pmatrix},

så att

\displaystyle A_{\boldsymbol{f}}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{-1/2}&{-\sqrt3/2}\\0&{\sqrt3/2}&{1/2}\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}2&0&0\\0&{-1}&{-\sqrt3}\\0&{\sqrt3}&{-1}\end{pmatrix}.

Avbildningsmatrisen ges av

\displaystyle \begin{align}

A_{\boldsymbol{e}}&=TA_{\boldsymbol{f}}T^t=2\frac{1}{\sqrt6}\frac{1}{\sqrt6} \begin{pmatrix}{\sqrt2}&{\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&{-\sqrt3}&1\\{\sqrt2}&0&{-2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&0&0\\0&{-1}&{-\sqrt3}\\0&{\sqrt3}&{-1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\sqrt2}&{\sqrt2}&{\sqrt2}\\{\sqrt3}&{-\sqrt3}&0\\1&1&{-2}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}.

\end{align}


Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.39