Tips och lösning till U 11.13

Tips 1

Vad innebär problemet geometriskt?

Tips 2

Vi kan se att vi har två plan vars skärning vi söker. Vi kan redan nu misstänka vilket svaret blir. Planens ekvation tas fram med hjälp av deras normaler som beräknas med kryssprodukt.

Tips 3

Enklast att lösa problemet är att bilda det ekvationssystem som söker skärningen mellan planen. Du får då ekvationssystemet \displaystyle

\left\{\begin{array}{rcr}x_1-2x_2+x_3&=&0\\x_1-x_2-x_3&=&0\end{array}\right.

Lösning

Låt \displaystyle U=[\boldsymbol{u}_1=(1,1,1)^t,\boldsymbol{u}_2=(1,0,-1)^t] och \displaystyle V=[\boldsymbol{v}_1=(2,1,1)^t,\boldsymbol{v}_2=(1,0,1)^t] .

Vi söker alltså snittmängden

\displaystyle

U\cap V=\{\mbox{alla vektorer som ligger i både }U\mbox{ och }V\},

dvs

\displaystyle

U\ni\lambda_1\boldsymbol{u}_1+\lambda_2\boldsymbol{u}_2=\boldsymbol{u}=\mu_1\boldsymbol{v}_1+\mu_2\boldsymbol{v}_2\in V.

Samlas termerna i vänstra ledet får vi ett ekvationssystem i de obekanta \displaystyle \lambda_1 , \displaystyle \lambda_2 , \displaystyle -\mu_1 och \displaystyle -\mu_2 :

\displaystyle

\lambda_1 \left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right) + \lambda_2 \left(\begin{array}{r} 1\\0\\-1\end{array}\right)- \mu_1 \left(\begin{array}{r} 2\\1\\1\end{array}\right)- \mu_2 \left(\begin{array}{r}1\\0\\1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right)

som har lösningen \displaystyle \lambda_1=2t , \displaystyle \lambda_2=t , \displaystyle \mu_1=2t och \displaystyle \mu_2=-t . Detta ger att \displaystyle \boldsymbol{u}=t(3,2,1)^t .

Alltså är underrummet \displaystyle U\cap V=[(3,2,1)^t] en linje genom origo. Riktningsvektorn \displaystyle (3,2,1)^t spänner upp underrummet och är därmed bas för detta rum.

Alternativ 2: Underrummet \displaystyle U är ett plan genom origo med normalen \displaystyle \boldsymbol{n}=\boldsymbol{u}_1\times\boldsymbol{u}_2=(1,-2,1)^t , dvs

\displaystyle

U=\{\boldsymbol{u}\in{\bf R}^3:\ x_1-2x_2+x_3=0\}.

På samma sätt följer att \displaystyle V=\{\boldsymbol{u}\in{\bf R}^3:\ x_1-x_2-x_3=0\} . Snittmängden \displaystyle U\cap V är alla gemensamma vektorer som finns i både \displaystyle U och \displaystyle V , dvs \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t ligger i \displaystyle U och \displaystyle V om

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcr}x_1-2x_2+x_3&=&0\\x_1-x_2-x_3&=&0\end{array}\right.

Detta system har lösningen \displaystyle \boldsymbol{u}=t(3,2,1)^t .