Tips och lösning till U 11.14a

Tips 1

Dimensionen är 3 eller mindre.

Tips 2

Undersök om de tre vektorerna är linjärt beroende eller inte. Eftersom de är linjärt oberoende är dimensionen tre. Vi ska nu fylla på med en vektor till för att få en bas i det fyrdimensionella rummet \displaystyle {\bf R^4} .

Tips 3

Vi använder samma ide som i ett tidigare exempel, nämligen att fylla på med en vektor som har en ett på lämpligt ställe och nollor för övrigt. Innan vi gör det så måste vi skriva om det ekvationssystem som kontrollerar o de fyra vektorerna är linjärt oberoende. Ekvationssystemet är \displaystyle

\lambda_1\boldsymbol{u}_1+\lambda_2\boldsymbol{u}_2+\lambda_3\boldsymbol{u}_3=\boldsymbol{0}\quad\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrrr}1&1&2&?\\0&1&1&?\\2&0&2&?\\1&1&1&?\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrrr}1&1&2&?\\0&1&0&?\\0&-2&0&?\\0&0&-1&?\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right).

Fyll nu på med en vektor i den fjärde kolonnen som gör att systemet bara har den triviala lösningen.

Lösning

\displaystyle U=[\boldsymbol{u}_1=(1,0,2,1)^t,\boldsymbol{u}_2=(1,1,0,1)^t,\boldsymbol{u}_3=(2,1,2,1)^t] . Visa att mängden \displaystyle \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\} är linjärt oberoende, så att \displaystyle \dim U=3 .

Vi fyller ut \displaystyle \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\} med \displaystyle \boldsymbol{u}_4\notin U till en bas \displaystyle \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3,\boldsymbol{u}_4\} för hela \displaystyle {\bf R^4} .

Alternativ 1: Mängden \displaystyle \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3,\boldsymbol{u}_4\} skall vara linjärt oberoende:

\displaystyle

\lambda_1\boldsymbol{u}_1+\lambda_2\boldsymbol{u}_2+\lambda_3\boldsymbol{u}_3=\boldsymbol{0}\quad\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrrr}1&1&2&?\\0&1&1&?\\2&0&2&?\\1&1&1&?\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrrr}1&1&2&?\\0&1&0&?\\0&-2&0&?\\0&0&-1&?\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right).

T.ex. kan vi välja \displaystyle \boldsymbol{u}_4=(1,0,0,0)^t , ty

\displaystyle

\left(\begin{array}{rrrr}1&1&2&1\\0&-1&1&0\\0&-2&0&0\\0&0&-1&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&0\\\lambda_2&=&0\\\lambda_3&=&0\\\lambda_4&=&0\end{array}\right.

Alltså är mängden \displaystyle \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3,\boldsymbol{u}_4\} en bas för hela \displaystyle {\bf R^4} .

Alternativ 2: Eftersom \displaystyle U har en deminsion upp till \displaystyle {\bf R^4} är \displaystyle U ett hyperplan i \displaystyle {\bf R^4} . Vi bestämmer därför ekvationen för linjära höljet U:

En vektor \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in U om det finns tal \displaystyle \lambda_1 , \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3 , så att

\displaystyle

\lambda_1\boldsymbol{u}_1+\lambda_2\boldsymbol{u}_2+\lambda_3\boldsymbol{u}_3=\boldsymbol{u}\quad\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrr|r}1&1&2\\0&1&1\\2&0&2\\1&1&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow

\displaystyle

\cdots\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrr}1&1&2\\0&1&1\\0&0&0\\0&0&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}x_1\\x_2\\x_3-2x_1+2x_2\\x_4-x_1\end{array}\right).

Alltså för att en \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t ska få ligga i \displaystyle U , så måste dess koordinater uppfylla ekvationen\qquad\displaystyle 2x_1-2x_2-x_3=0 .

Vi har därmed visat att

\displaystyle

[(1,0,2,1)^t,(1,1,0,1)^t,(2,1,2,1)^t]=U=\{\boldsymbol{u}\in{\bf R^4}:2x_1-2x_2-x_3=0.\}.

En vektor \displaystyle \boldsymbol{u}_4\notin U är en vektor vars koordinator inte uppfyller ekvationen. T.ex. kan vi välja \displaystyle \boldsymbol{u}_4=(1,0,0,0)^t . Den utvidgade mängden \displaystyle \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3,\boldsymbol{u}_4\} är nu en bas för hela \displaystyle {\bf R^4} .