Tips och lösning till U 11.5a

Tips 1

Här krävs definitionen på linjära höljet, dvs alla linjärkombinationer av vektorerna i V respektive W.

Tips 2

Om vi börjar med V så är linjära höljet \displaystyle V=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3] alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t som uppfyller villkoret \displaystyle \boldsymbol{v}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3 (detta är ju alla linjärkombinationer).

Tips 3

Detta leder till ekvationssystemet \displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1&0&1\\0&1&-1\\0&1&0\\1&0& 0\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} x_1\\ x_2\\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right) . Om vi löser detta system så erhålles det sökta sambandet. På samma sätt tas ekvationen fram för det andra höljet.

Lösning

i) Linjära höljet \displaystyle V=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3] är mängden av alla linjärkombinationer i mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\} , dvs \displaystyle V är mängden av alla \displaystyle \boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4 sådana att

dvs

För att \displaystyle \boldsymbol{v}\in V så måste alltså \displaystyle \boldsymbol{v} :s koordinater uppfylla ekvationen

Detta ger att

ii) Vi bestämmer nu en ekvation för \displaystyle W . Linjära höljet \displaystyle W=[\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_3] är mängden av alla linjärkombinationer i mängden \displaystyle \{\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_3\} , dvs \displaystyle W är mängden av alla \\ \displaystyle \boldsymbol{w}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4 sådana att

dvs

För att \displaystyle \boldsymbol{w}\in W så måste alltså \displaystyle \boldsymbol{w} :s koordinater uppfylla ekvationen

Detta ger att