Tips och lösning till U 11.5b
SamverkanLinalgLIU
| Rad 19: | Rad 19: | ||
| - | i) | + | i) Snittmängden <math> U\cap V </math> är mängden av alla vektorer som ligger i både <math> U </math> och |
| + | <math> V </math>. Eftersom | ||
<center><math> | <center><math> | ||
| - | U= | + | U=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1-x_2-x_3+x_4=0\}. |
</math></center> | </math></center> | ||
och | och | ||
<center><math> | <center><math> | ||
| - | V= | + | V=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1+x_2-x_3-x_4=0\}, |
| + | </math></center> | ||
| + | så är | ||
| + | <center><math> | ||
| + | U\cap V=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ | ||
| + | x_1-x_2-x_3+x_4=0,\quad x_1+x_2-x_3-x_4=0\}. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | |||
| + | Därmed kräver vi av en vektor <math> \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in {\bf R}^4 </math> som | ||
| + | ska tillhöra snittmängden <math> U\cap V </math> att den tillhör både <math> U </math> och <math> W </math>. | ||
| + | Detta betyder att att <math> \boldsymbol{u}</math>:s koordinater <math> x_1 </math>, | ||
| + | <math> x_2 </math>, <math> x_3 </math> och <math> x_4 </math> satisfierar båda ekvationerna samtidigt, dvs | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left\{\begin{array}{rcr} | ||
| + | x_1-x_2-x_3+x_4&=&0\\ | ||
| + | x_1+x_2-x_3-x_4&=&0 | ||
| + | \end{array}\right. | ||
| + | \Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow | ||
| + | \left\{\begin{array}{rcr} | ||
| + | x_1-x_2-x_3+x_4&=&0\\ | ||
| + | x_2-x_4&=&0 | ||
| + | \end{array}\right. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | Sätter vi <math> x_4=t </math> och <math> x_3=s </math> så får vi att <math> x_2=t </math> och <math> x_1=s </math>. | ||
| + | Vi får därmed att vektorerna som ligger i snittet <math> U\cap U </math> är alla av typen | ||
| + | <math> \boldsymbol{u}=s(1,0,1,0)^t+t(0,1,0,1)^t </math>. | ||
| + | Alltså är | ||
| + | <center><math> | ||
| + | U\cap W=[(1,0,1,0)^t,(0,1,0,1)^t]. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
| - | är ett och samma hyperplan <math> \{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1+x_2-x_3-x_4=0\} </math>. | ||
| - | Detta betyder att <math> U=V </math> och i så fall <math> U\cap V=U=V </math>. | ||
ii) <math> U\cap W </math> är mängden av alla vektorer som ligger i både <math> U </math> och | ii) <math> U\cap W </math> är mängden av alla vektorer som ligger i både <math> U </math> och | ||
<math> W </math>. Eftersom | <math> W </math>. Eftersom | ||
<center><math> | <center><math> | ||
| - | U=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1+x_2-x_3 | + | U=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1+x_2-x_3+x_4=0\}. |
</math></center> | </math></center> | ||
och | och | ||
| Rad 42: | Rad 69: | ||
<center><math> | <center><math> | ||
U\cap W=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ | U\cap W=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ | ||
| - | x_1+x_2-x_3 | + | x_1+x_2-x_3+x_4=0,\quad x_1-x_4=0\}. |
</math></center> | </math></center> | ||
| Rad 50: | Rad 77: | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array}{rcr} | \left\{\begin{array}{rcr} | ||
| - | x_1+x_2-x_3 | + | x_1+x_2-x_3+x_4&=&0\\ |
x_1-x_4&=&0 | x_1-x_4&=&0 | ||
\end{array}\right. | \end{array}\right. | ||
| Rad 59: | Rad 86: | ||
\end{array}\right. | \end{array}\right. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
| - | Sätter vi <math> x_4=t </math> och <math> x_3=s </math> så får vi att <math> x_1=t </math> och <math> x_2=s </math>. | + | Sätter vi <math> x_4=t </math> och <math> x_3=s </math> så får vi att <math> x_1=t </math> och <math> x_2=2t-s </math>. |
Vi får därmed att vektorerna som ligger i snittet <math> U\cap U </math> är alla av typen | Vi får därmed att vektorerna som ligger i snittet <math> U\cap U </math> är alla av typen | ||
| - | <math> \boldsymbol{u}=s(0,1,1,0)^t+t(1, | + | <math> \boldsymbol{u}=s(0,-1,1,0)^t+t(1,2,0,1)^t </math>. |
Alltså är | Alltså är | ||
<center><math> | <center><math> | ||
| - | U\cap W=[(0,1,1,0)^t,(1, | + | U\cap W=[(0,-1,1,0)^t,(1,2,0,1)^t]. |
</math></center> | </math></center> | ||
Versionen från 14 november 2017 kl. 08.18
Tips 1
Observera att U o V har samma ekvation.
Tips 2
Då det gäller U och W så har de olika ekvationer. Vi ska alltså finna de vektorer vars koordinater uppfyller båda ekvationerna. Detta leder till ett ekvationssystem.
Tips 3
Ekvationssystemet som tar fram koordinaterna för de gemensamma vektorerna blir således \displaystyle \left\{\begin{array}{rcr} x_1+x_2-x_3-x_4&=&0\\ x_1-x_4&=&0 \end{array}\right.. Lösningen till detta system blir en parameterlösning.
Lösning
i) Snittmängden \displaystyle U\cap V är mängden av alla vektorer som ligger i både \displaystyle U och
\displaystyle V . Eftersom
U=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1-x_2-x_3+x_4=0\}.
och
V=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1+x_2-x_3-x_4=0\},
så är
U\cap V=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1-x_2-x_3+x_4=0,\quad x_1+x_2-x_3-x_4=0\}.
Därmed kräver vi av en vektor \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in {\bf R}^4 som ska tillhöra snittmängden \displaystyle U\cap V att den tillhör både \displaystyle U och \displaystyle W . Detta betyder att att \displaystyle \boldsymbol{u}:s koordinater \displaystyle x_1 , \displaystyle x_2 , \displaystyle x_3 och \displaystyle x_4 satisfierar båda ekvationerna samtidigt, dvs
\left\{\begin{array}{rcr} x_1-x_2-x_3+x_4&=&0\\ x_1+x_2-x_3-x_4&=&0 \end{array}\right. \Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr} x_1-x_2-x_3+x_4&=&0\\ x_2-x_4&=&0 \end{array}\right.
Sätter vi \displaystyle x_4=t och \displaystyle x_3=s så får vi att \displaystyle x_2=t och \displaystyle x_1=s . Vi får därmed att vektorerna som ligger i snittet \displaystyle U\cap U är alla av typen \displaystyle \boldsymbol{u}=s(1,0,1,0)^t+t(0,1,0,1)^t . Alltså är
U\cap W=[(1,0,1,0)^t,(0,1,0,1)^t].
ii) \displaystyle U\cap W är mängden av alla vektorer som ligger i både \displaystyle U och \displaystyle W . Eftersom
U=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1+x_2-x_3+x_4=0\}.
och
W=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1-x_4=0\},
så är
U\cap W=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1+x_2-x_3+x_4=0,\quad x_1-x_4=0\}.
Därmed kräver vi av en vektor \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in {\bf R}^4 ska tillhöra både \displaystyle U och \displaystyle W att dess koordinater \displaystyle x_1 , \displaystyle x_2 , \displaystyle x_3 och \displaystyle x_4 satisfierar båda ekvationerna samtidigt, dvs
\left\{\begin{array}{rcr} x_1+x_2-x_3+x_4&=&0\\ x_1-x_4&=&0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr} x_2-x_3&=&0\\ x_1-x_4&=&0 \end{array}\right.
Sätter vi \displaystyle x_4=t och \displaystyle x_3=s så får vi att \displaystyle x_1=t och \displaystyle x_2=2t-s . Vi får därmed att vektorerna som ligger i snittet \displaystyle U\cap U är alla av typen \displaystyle \boldsymbol{u}=s(0,-1,1,0)^t+t(1,2,0,1)^t . Alltså är
U\cap W=[(0,-1,1,0)^t,(1,2,0,1)^t].
