Tips och lösning till U 13.11
SamverkanLinalgLIU
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | + | Ortogonala komplementet är mängden av alla vektorer som är ortogonala mot de vektorer som spänner upp W. Först måste vi fastställa dimensionen för det ortogonala komplementet <math> W^\perp </math>. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | <math> \dim W^\perp=\dim{\bf E}^5-\dim W=3 </math> Obs du måste visa att dimensionen för W är 2. I nästa steg skall vi då finna tre vektorer som bildar bas för <math> \dim W^\perp</math>. Beskriv nu i ett ekvationssystem de villkor som gäller för att vektorerna i <math> \dim W^\perp</math> skall vara ortogonala mot de två givna vektorerna som spänner upp W. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | Om vi låter <math> W=[\boldsymbol{v}_1=(1,2,0,0,0)^t,\boldsymbol{v}_2=(1,0,3,0,0)^t] </math> och kallar vektorerna i <math> \ W^\perp</math> för <math> \boldsymbol{w}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^t\in {\bf E}^5 </math> så får vi ekvationssystemet <center><math> | |
| + | \left\{\begin{array}{rcrcr}(\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_1)&=&x_1+2x_2&=&0\\(\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_2)&=&x_1+3x_3&=&0\end{array}\right.</math></center> Via en parameterlösning får du tre vektorer som bildar bas. Kontrollera att dessa är ortogonal inbördes (om de inte skulle vara ortogonala får du köra en G-S process). Därefter normerar du. | ||
| + | |||
| + | |||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
Nuvarande version
Tips 1
Ortogonala komplementet är mängden av alla vektorer som är ortogonala mot de vektorer som spänner upp W. Först måste vi fastställa dimensionen för det ortogonala komplementet \displaystyle W^\perp .
Tips 2
\displaystyle \dim W^\perp=\dim{\bf E}^5-\dim W=3 Obs du måste visa att dimensionen för W är 2. I nästa steg skall vi då finna tre vektorer som bildar bas för \displaystyle \dim W^\perp. Beskriv nu i ett ekvationssystem de villkor som gäller för att vektorerna i \displaystyle \dim W^\perp skall vara ortogonala mot de två givna vektorerna som spänner upp W.
Tips 3
Om vi låter \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1=(1,2,0,0,0)^t,\boldsymbol{v}_2=(1,0,3,0,0)^t] och kallar vektorerna i \displaystyle \ W^\perp för \displaystyle \boldsymbol{w}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^t\in {\bf E}^5 så får vi ekvationssystemet
Lösning
Visa att \displaystyle \dim W=2 , där \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1=(1,2,0,0,0)^t,\boldsymbol{v}_2=(1,0,3,0,0)^t] .
Ortogonala komplementet \displaystyle W^\perp med \displaystyle \dim W^\perp=\dim{\bf E}^5-2=3 är mängden av alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{w} ortogonala mot \displaystyle W .
Bestäm alltså alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{w} sådana att \displaystyle (\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_1)=0 och \displaystyle (\boldsymbol{v}|\boldsymbol{v}_2)=0 .
Om \displaystyle \boldsymbol{w}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^t\in {\bf E}^5 , så är
\left\{\begin{array}{rcrcr}(\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_1)&=&x_1+2x_2&=&0\\(\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_2)&=&x_1+3x_3&=&0\end{array}\right.
Sätt \displaystyle x_1=6t . Då är \displaystyle x_2=-3t och \displaystyle x_3=-2t . Sätt vidare \displaystyle x_4=s och \displaystyle x_5=r . Då är
\boldsymbol{w}=r(0,0,0,0,1)^t+s(0,0,0,1,0)^t+t(6,-3,-2,0,0)^t.
Alltså är \displaystyle W^{\perp}=[(0,0,0,0,1)^t,(0,0,0,1,0)^t,(6,-3,-2,0,0)^t] . Dessa är ortogonala; kvar att normera.
En ON-bas för \displaystyle W^\perp är alltså \displaystyle (0,0,0,0,1)^t , \displaystyle (0,0,0,1,0)^t och \displaystyle \frac{1}{7}(6,-3,-2,0,0)^t] .
