Tips och lösning till U 13.12a

Tips 1

Börja med att bestämma dimensionen för W

Tips 2

Vi visar att vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 i \displaystyle W är linjärt oberoende och därmed en bas för \displaystyle W . Återstår att göra en ON-bas i det rum som har de givna vektorerna som bas.

Tips 3

Vi gör en G-S process där det finns två vägar att gå. Eftersom du har två vektorer givna har du två val att göra, dvs välj någon av de två vektorerna som din första basvektor (9 av 10 brukar välja den som står först).

Lösning

Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 i \displaystyle W är linjärt oberoende och därmed en bas för \displaystyle W .

Alltså \displaystyle \dim W=2 och \displaystyle \dim W^{\perp}=2 . Låt \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{v}_1 . Då är \displaystyle \boldsymbol{e}_1=\frac{1}{||\boldsymbol{f}_1||}\boldsymbol{f}_1=\frac{1}{2}(1,1,1,1)^t den första basvektorn i \displaystyle W .

Gram-Schmidt ger

och därmed är \displaystyle \boldsymbol{e}_2=\frac{1}{2}(1,-1,1,-1)^t den andra basvektorn i \displaystyle W .

Således är \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\} en ON-bas i \displaystyle W med \displaystyle W=[\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2] .