Tips och lösning till U 13.12e

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (10 november 2010 kl. 13.53) (redigera) (ogör)
 
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Du skall göra samma sak som i uppgift c fast du nu skall ha en allmän vektor.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
<center><math>\begin{array}{rcl}P_{W}(\boldsymbol{u})&=&(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2\\\end{array}</math></center>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Du utför beräkningen enl tips 2 och skriver om resultatet i matrisform. För att se att du räknat rätt prövar du att sätta in '''''u''''' och kontrollerar att du får samma resultat som tidigare i c-uppgiften.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''

Nuvarande version

Tips 1

Du skall göra samma sak som i uppgift c fast du nu skall ha en allmän vektor.

Tips 2

\displaystyle \begin{array}{rcl}P_{W}(\boldsymbol{u})&=&(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2\\\end{array}

Tips 3

Du utför beräkningen enl tips 2 och skriver om resultatet i matrisform. För att se att du räknat rätt prövar du att sätta in u och kontrollerar att du får samma resultat som tidigare i c-uppgiften.

Lösning


Ortogonala projektionen \displaystyle P_{W}(\boldsymbol{u}) ges av

\displaystyle

\begin{array}{rcl} 

       P_{W}(\boldsymbol{u})&=&(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2\\

&=&\frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)\bigg|\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\right) 

         \frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\1\end{array}\right)

+\frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)\bigg|\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\\-1\end{array}\right)\right) 

         \frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\\-1\end{array}\right)\\
      &=&\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr}x_1+x_3\\x_2+x_4\\x_1+x_3\\x_2+x_4\end{array}\right)\\

\end{array}

Sista uttrycket kan skrivas som en matrisprodukt så att

\displaystyle

P_{W}(\boldsymbol{u})=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{array}\right) 

                       \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right).

T.ex., så är

\displaystyle

P_{W}\left(\begin{array}{r}0\\4\\4\\0\end{array}\right) 

          =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{array}\right)
           \left(\begin{array}{r}0\\4\\4\\0\end{array}\right)
         =\left(\begin{array}{r}2\\2\\2\\2\end{array}\right).
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_13.12e