Tips och lösning till U 13.13d

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (10 november 2010 kl. 14.40) (redigera) (ogör)
 
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Du känner igen problemet från uppgift 13.12c
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Du får du uppdelningen <center><math>
 +
\boldsymbol{u}=\underbrace{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3}
 +
_{P_W(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W}} \quad + \underbrace{ (\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_4)\boldsymbol{e}_4}_{P_{W^\perp}(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp}}.
 +
</math></center> I detta fall beskrives <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W}</math> av tre vektorer efterson W har dimensionen tre.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Återstår nu att utföra beräkningarna.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''

Nuvarande version

Tips 1

Du känner igen problemet från uppgift 13.12c

Tips 2

Du får du uppdelningen
\displaystyle

\boldsymbol{u}=\underbrace{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3} _{P_W(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W}} \quad + \underbrace{ (\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_4)\boldsymbol{e}_4}_{P_{W^\perp}(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp}}.

I detta fall beskrives \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W} av tre vektorer efterson W har dimensionen tre.

Tips 3

Återstår nu att utföra beräkningarna.

Lösning


Enligt Sats 12.22 ges varje vektor entydigt av

\displaystyle

\boldsymbol{u}=\underbrace{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3} _{P_W(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W}} \quad + \underbrace{ (\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_4)\boldsymbol{e}_4}_{P_{W^\perp}(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp}}.

Om \displaystyle \boldsymbol{u}=(2,2,6,2)^t , så är

\displaystyle

P_{W}(\boldsymbol{u}) = \boldsymbol{u}_{\parallel W} = (\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2 +(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3 =\frac{1}{5} (14,18,22,6)^t

och

\displaystyle

P_{W^\perp}(\boldsymbol{u}) = \boldsymbol{u}_{\perp W} = (\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_4)\boldsymbol{e}_4= \frac{1}{5}(-4,-8,8,4)^t.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_13.13d