Tips och lösning till U 13.16

Tips 1

För att lösa denna typ av problem behöver du en ON-bas till den givna mängden

Tips 2

Undersök först om det finns onödiga vektorer via kontroll om vektorerna är linjärt beroende eller oberoende. Därefter fixar du till en ON-bas av rätt dimension (som i detta fall är 2) med hjälp av G-S process.

Tips 3

För att nu svara på frågan om vilken vektor som ligger närmast den angivna vektorn u har du nytta av figur 12.24. Den vektor du söker är alltså u:s ortogonala projektion i W. Den vektor brukar benämnas \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W} . Den är nu lätt att beräkna när du har en ON-bas ty \displaystyle

\boldsymbol{u}_{\parallel W}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=(0,1,2,-1)^t.

Lösning

Visa att \displaystyle \dim W=[\boldsymbol{v}_1=(1,1,1,-1)^t,\boldsymbol{v}_2=(-1,1,3,-1)^t,\boldsymbol{v}_3=(1,0,-1,0)^t]=2 , ty det är linjärt beroende: \displaystyle \boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2-2\boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0} och onödiga vektorer skall strykas. \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2] . Bestäm nu en ON-bas i \displaystyle W mha G-S process så att

\displaystyle

W=\Big[\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^t,\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{\sqrt2}(-1,0,1,0)^t\Big].

Närmaste vektorn till \displaystyle \boldsymbol{u} är \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W} som ges av

\displaystyle

\boldsymbol{u}_{\parallel W}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=(0,1,2,-1)^t.

Observera att

\displaystyle

\boldsymbol{u}_{\perp W}=\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}.