Tips och lösning till U 13.18
SamverkanLinalgLIU
| Rad 27: | Rad 27: | ||
\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\\ | \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\\ | ||
&=&\frac{1}{3}\\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right) | &=&\frac{1}{3}\\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right) | ||
| - | \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right) | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Versionen från 5 december 2015 kl. 17.01
Tips 1
Bestäm en ON-Bas för \displaystyle W och använd formlerna för ortogonal projektion.
Tips 2
Läs Exempel 12.30.
Tips 3
Eftersom \displaystyle W är ett plan så kan normalen \displaystyle \boldsymbol{n}\ bestämmas. Bestäm ortogonala projektionen på \displaystyle \boldsymbol{n}.
Lösning
Gram-Schmidt process ger att \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2]=[\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2]\subset{\bf E}^3, där \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\} är en ON-bas för \displaystyle W. Eftersom \displaystyle W är ett plan genom origo kan vi bestämma dess normal \displaystyle \boldsymbol{n}=\boldsymbol{e}_1\times\boldsymbol{e}_2=(1,1,1)^t. Sätt \displaystyle \boldsymbol{e}_3=\frac{\boldsymbol{n}}{||\boldsymbol{n}||}=\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)^t. Då är
\begin{array}{rcl} P_W^{\perp}(\boldsymbol{u})&=&(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3\\
&=&\frac{1}{3}\left\{\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\right\}
\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\\
&=&\frac{1}{3}\\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)
\end{array}
