Tips och lösning till U 13.18

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 26: Rad 26:
\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\right\}
\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\right\}
\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\\
\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\\
-
&=&\frac{1}{3}\\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)
+
&=&\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)
\end{array}
\end{array}
</math></center>
</math></center>

Versionen från 5 december 2015 kl. 17.03

Tips 1

Bestäm en ON-Bas för \displaystyle W och använd formlerna för ortogonal projektion.

Tips 2

Läs Exempel 12.30.

Tips 3

Eftersom \displaystyle W är ett plan så kan normalen \displaystyle \boldsymbol{n}\ bestämmas. Bestäm ortogonala projektionen på \displaystyle \boldsymbol{n}.

Lösning

Gram-Schmidt process ger att \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2]=[\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2]\subset{\bf E}^3, där \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\} är en ON-bas för \displaystyle W. Eftersom \displaystyle W är ett plan genom origo kan vi bestämma dess normal \displaystyle \boldsymbol{n}=\boldsymbol{e}_1\times\boldsymbol{e}_2=(1,1,1)^t. Sätt \displaystyle \boldsymbol{e}_3=\frac{\boldsymbol{n}}{||\boldsymbol{n}||}=\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)^t. Då är

\displaystyle

\begin{array}{rcl} P_W^{\perp}(\boldsymbol{u})&=&(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3\\ 

          &=&\frac{1}{3}\left\{\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\cdot
                                                         \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\right\}
                                                          \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\\
                      &=&\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)

\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right) \end{array}


\displaystyle \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{v}_2-(\boldsymbol{v}_2|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_13.18