Tips och lösning till U 13.18

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 22: Rad 22:
<center><math>
<center><math>
\begin{array}{rcl}
\begin{array}{rcl}
-
P_W^{\perp}(\boldsymbol{u})&=&(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3\\
+
P_{W^{\perp}}(\boldsymbol{u})&=&(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3\\
&=&\frac{1}{3}\left\{\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\cdot
&=&\frac{1}{3}\left\{\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\right\}
\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\right\}
Rad 30: Rad 30:
\end{array}
\end{array}
</math></center>
</math></center>
 +
Matrisen till <math>P_{W^{\perp}}</math> är alltså
 +
<math>\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)</math>.
-
 
+
Vidare är
-
<center><math>\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{v}_2-(\boldsymbol{v}_2|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1</math></center>
+
<center><math>
 +
P_W(\boldsymbol{u}) = (\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{u} - P_{W^{\perp}}(\boldsymbol{u})
 +
</math></center>

Versionen från 5 december 2015 kl. 17.07

Tips 1

Bestäm en ON-Bas för \displaystyle W och använd formlerna för ortogonal projektion.

Tips 2

Läs Exempel 12.30.

Tips 3

Eftersom \displaystyle W är ett plan så kan normalen \displaystyle \boldsymbol{n}\ bestämmas. Bestäm ortogonala projektionen på \displaystyle \boldsymbol{n}.

Lösning

Gram-Schmidt process ger att \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2]=[\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2]\subset{\bf E}^3, där \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\} är en ON-bas för \displaystyle W. Eftersom \displaystyle W är ett plan genom origo kan vi bestämma dess normal \displaystyle \boldsymbol{n}=\boldsymbol{e}_1\times\boldsymbol{e}_2=(1,1,1)^t. Sätt \displaystyle \boldsymbol{e}_3=\frac{\boldsymbol{n}}{||\boldsymbol{n}||}=\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)^t. Då är

\displaystyle

\begin{array}{rcl} P_{W^{\perp}}(\boldsymbol{u})&=&(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3\\ 

          &=&\frac{1}{3}\left\{\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\cdot
                                                         \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\right\}
                                                          \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\\
                      &=&\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)

\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right) \end{array}

Matrisen till \displaystyle P_{W^{\perp}} är alltså \displaystyle \frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right).

Vidare är

\displaystyle

P_W(\boldsymbol{u}) = (\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{u} - P_{W^{\perp}}(\boldsymbol{u})

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_13.18