Tips och lösning till U 13.7b

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (5 november 2010 kl. 18.15) (redigera) (ogör)
 
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Du skall alltså söka alla linjärkombinationer av de givna vektorerna.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Alla linjärkombinationer kan beräknas enligt <center><math>
 +
\boldsymbol{v}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3
 +
\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rrr|r}1/2&1/2&1/2&x_1\\1/2&1/2&-1/2&x_2\\
 +
1/2&-1/2&-1/2&x_3\\1/2&-1/2&1/2&x_4\end{array}\right)
 +
\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&2x_1\\1&1&-1&2x_2\\1&-1&-1&2x_3\\1&-1&1&2x_4\end{array}\right)
 +
</math></center>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Du skall återigen lösa ett ekvationssystem där du söker sambandet mellan de fyra koordinaterna.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''

Nuvarande version

Tips 1

Du skall alltså söka alla linjärkombinationer av de givna vektorerna.

Tips 2

Alla linjärkombinationer kan beräknas enligt
\displaystyle

\boldsymbol{v}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3 

               \Leftrightarrow
               \left(\begin{array}{rrr|r}1/2&1/2&1/2&x_1\\1/2&1/2&-1/2&x_2\\
                                         1/2&-1/2&-1/2&x_3\\1/2&-1/2&1/2&x_4\end{array}\right)
               \Leftrightarrow
               \left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&2x_1\\1&1&-1&2x_2\\1&-1&-1&2x_3\\1&-1&1&2x_4\end{array}\right)

Tips 3

Du skall återigen lösa ett ekvationssystem där du söker sambandet mellan de fyra koordinaterna.

Lösning


Underrummet \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3] mängden av alla linjär kombinationer.

En vektor \displaystyle \boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t tillhör \displaystyle W om

\displaystyle

\boldsymbol{v}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3 

               \Leftrightarrow
               \left(\begin{array}{rrr|r}1/2&1/2&1/2&x_1\\1/2&1/2&-1/2&x_2\\
                                         1/2&-1/2&-1/2&x_3\\1/2&-1/2&1/2&x_4\end{array}\right)
               \Leftrightarrow
               \left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&2x_1\\1&1&-1&2x_2\\1&-1&-1&2x_3\\1&-1&1&2x_4\end{array}\right)
\displaystyle

\Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow 

               \left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&2x_1\\0&0&-2&2x_2-2x_1\\0&0&0&2x_1-2x_2+2x_3-2x_4\\0&-2&0&2x_4-2x_1\end{array}\right).

Systemet är lösbart endast om \displaystyle x_1-x_2+x_3-x_4=0 , dvs

\displaystyle

W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3]=\{\boldsymbol{u}\in{\bf E}^4:\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_13.7b