Tips och lösning till U 13.8a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (5 november 2010 kl. 19.36) (redigera) (ogör)
 
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Det är tre saker som styr om en mängd vektorer bildar en ON-bas.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
De tre är:
 +
*Rätt antal. I detta fall tre stycken eftersom dimensionen är tre
 +
*Vektorerna skall vara inbördes ortogonala
 +
*Vektorernas längd skall vara 1
 +
 
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Rätt antal klart och parvis ortogonala undersökes med
 +
<math>
 +
\left\{\begin{array}{rcl}
 +
( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_2) = ((2,3,6)^t|(6,2,a)^t)&=&0\\
 +
( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_3) = ((2,3,6)^t|(b,c,2)^t)&=&0\\
 +
( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_3) = (|(6,2,a)^t|(b,c,2)^t)&=&0
 +
\end{array}\right.
 +
</math> Vidare bestämmer vi längden till 1 med beräkningen
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{rcl}
 +
||\boldsymbol{v}_1||=\frac{1}{7} ||(2,3,6)^t||&=&1\\
 +
 
 +
||\boldsymbol{v}_2||=\frac{1}{7} ||(b,c,2)^t ||&=&1\\
 +
 
 +
||\boldsymbol{v}_3||=\frac{1}{7} || (b,2,a)^t || &=&1\\
 +
\end{array}\right.
 +
</math></center>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''

Nuvarande version

Tips 1

Det är tre saker som styr om en mängd vektorer bildar en ON-bas.

Tips 2

De tre är:

  • Rätt antal. I detta fall tre stycken eftersom dimensionen är tre
  • Vektorerna skall vara inbördes ortogonala
  • Vektorernas längd skall vara 1

Tips 3

Rätt antal klart och parvis ortogonala undersökes med \displaystyle \left\{\begin{array}{rcl} ( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_2) = ((2,3,6)^t|(6,2,a)^t)&=&0\\ ( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_3) = ((2,3,6)^t|(b,c,2)^t)&=&0\\ ( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_3) = (|(6,2,a)^t|(b,c,2)^t)&=&0 \end{array}\right. Vidare bestämmer vi längden till 1 med beräkningen

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcl} ||\boldsymbol{v}_1||=\frac{1}{7} ||(2,3,6)^t||&=&1\\

||\boldsymbol{v}_2||=\frac{1}{7} ||(b,c,2)^t ||&=&1\\

||\boldsymbol{v}_3||=\frac{1}{7} || (b,2,a)^t || &=&1\\ \end{array}\right.

Lösning


Vektorerna bildar en ON-bas om de är parvis ortogonala och normerade. Detta ger följande system

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcl} ( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_2) = ((2,3,6)^t|(6,2,a)^t)&=&0\\ ( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_3) = ((2,3,6)^t|(b,c,2)^t)&=&0\\ ( \boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_3) = (|(6,2,a)^t|(b,c,2)^t)&=&0 \end{array}\right.

och

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcl} ||\boldsymbol{v}_1||=\frac{1}{7} ||(2,3,6)^t||&=&1\\

||\boldsymbol{v}_2||=\frac{1}{7} ||(b,c,2)^t ||&=&1\\

||\boldsymbol{v}_3||=\frac{1}{7} || (b,2,a)^t || &=&1\\ \end{array}\right.

Vi löser det översta systemet ovan och kontrollerar med det nedersta, så får vi att \displaystyle a=-3 , \displaystyle b=3 och \displaystyle c=-6 .

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_13.8a