Tips och lösning till U 22.12a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (22 november 2010 kl. 14.52) (redigera) (ogör)
 
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Vi skall alltså se till att <math>
 +
F(\boldsymbol{v}_1)=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 \</math> där <math> \boldsymbol{v}_1</math> är den givna vektorn med tillhörande egenvärde <math> \lambda_1 </math>.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Vi får då ekvationssystemet <math>
 +
\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rrr}3&2&2\\2&2&0\\2&0&a\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right)
 +
=\lambda_1 \left(\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right)
 +
</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Det överbestämda ekvationssystemet har då lösningen
 +
<math>
 +
\left(\begin{array}{c}3\\6\\2-2a\end{array}\right)
 +
=\left(\begin{array}{c}\lambda_1\\2\lambda_1\\-2\lambda_1\end{array}\right)
 +
\Leftrightarrow
 +
\left \{ \begin{array}{ccl}\lambda_1&=&3\\a&=&4\end{array}\right.
 +
</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''

Nuvarande version

Tips 1

Vi skall alltså se till att \displaystyle F(\boldsymbol{v}_1)=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 \ där \displaystyle \boldsymbol{v}_1 är den givna vektorn med tillhörande egenvärde \displaystyle \lambda_1 .

Tips 2

Vi får då ekvationssystemet \displaystyle \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}3&2&2\\2&2&0\\2&0&a\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right) =\lambda_1 \left(\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right)

Tips 3

Det överbestämda ekvationssystemet har då lösningen \displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\6\\2-2a\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}\lambda_1\\2\lambda_1\\-2\lambda_1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{ccl}\lambda_1&=&3\\a&=&4\end{array}\right.

Lösning


Vektorn \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}(1,2,-2)^t är en egenvektor till \displaystyle F om det finns ett tillhörande egenvärde \displaystyle \lambda_1 så att


\displaystyle

F(\boldsymbol{v}_1)=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 \ \Leftrightarrow\ F(\underline{\boldsymbol{e}}(1,2,-2)^t)=\lambda_1 \underline{\boldsymbol{e}}(1,2,-2)^t,


dvs


\displaystyle

\underline{\boldsymbol{e}}A (1,2,-2)^t = \underline{\boldsymbol{e}}\lambda_1 (1,2,-2)^t \Leftrightarrow A (1,2,-2)^t=\lambda_1 (1,2,-2)^t


dvs


\displaystyle

\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}3&2&2\\2&2&0\\2&0&a\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right) =\lambda_1 \left(\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right)


dvs


\displaystyle

\Leftrightarrow \left(\begin{array}{c}3\\6\\2-2a\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}\lambda_1\\2\lambda_1\\-2\lambda_1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{ccl}\lambda_1&=&3\\a&=&4\end{array}\right.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.12a