Tips och lösning till U 22.16a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 1: Rad 1:
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
Vi skall använda sats 19.7 som säger att <math>D= T^tAT </math>.
-
'''Tips 1'''
+
-
 
+
-
Hej 1
+
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Vi har matrisen <math>A </math> given och skall alltså finna matrisen <math> T</math> och dess invers. Vi börjar med <math> T</math>.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
<math> T</math> är ju den matris som reglerar sambandet mellan baserna och i detta fall har vi en avbildningsmatris som är symmetrisk vilket leder till att vi kan finna en ON-bas av egenvektorer. Dessa normerade egenvektorer är då kolonner i <math> T</math>. Att finna inversen till <math> T</math> innebär i detta fall att transformera <math> T</math>, vilket förenklar.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
Rad 18: Rad 15:
en ON-bas av egenvektorer. Om vi låter <math> T </math> innehålla i sina
en ON-bas av egenvektorer. Om vi låter <math> T </math> innehålla i sina
kolonner dem normerade egenvektorena till <math> A </math>, så kommer <math> T </math> att vara ortogonal
kolonner dem normerade egenvektorena till <math> A </math>, så kommer <math> T </math> att vara ortogonal
-
samt <math> TAT^t </math> en diagonalmatris.
+
samt <math> T^tAT </math> en diagonalmatris.
Vi löser sekularekvationen och får egenvärdena <math> \lambda_1=15 </math>,
Vi löser sekularekvationen och får egenvärdena <math> \lambda_1=15 </math>,
<math> \lambda_2=5 </math>. Tillhörande egenvektorer får vi om vi
<math> \lambda_2=5 </math>. Tillhörande egenvektorer får vi om vi

Versionen från 22 november 2010 kl. 16.30

Vi skall använda sats 19.7 som säger att \displaystyle D= T^tAT .

Tips 2

Vi har matrisen \displaystyle A given och skall alltså finna matrisen \displaystyle T och dess invers. Vi börjar med \displaystyle T.

Tips 3

\displaystyle T är ju den matris som reglerar sambandet mellan baserna och i detta fall har vi en avbildningsmatris som är symmetrisk vilket leder till att vi kan finna en ON-bas av egenvektorer. Dessa normerade egenvektorer är då kolonner i \displaystyle T. Att finna inversen till \displaystyle T innebär i detta fall att transformera \displaystyle T, vilket förenklar.

Lösning


Efetrsom \displaystyle A är symmetrisk följer av spektralsatsen att \displaystyle A har en ON-bas av egenvektorer. Om vi låter \displaystyle T innehålla i sina kolonner dem normerade egenvektorena till \displaystyle A , så kommer \displaystyle T att vara ortogonal samt \displaystyle T^tAT en diagonalmatris. Vi löser sekularekvationen och får egenvärdena \displaystyle \lambda_1=15 , \displaystyle \lambda_2=5 . Tillhörande egenvektorer får vi om vi löser systemen


\displaystyle

(A-\lambda_kE)X_k=\boldsymbol{0},\ k=1,2.

De normerade egenvektorerna är \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\frac{1}{\sqrt5}(1,2)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{\sqrt5}(-2,1)^t .


Vi får att \displaystyle T=\frac{1}{\sqrt5} \left(\begin{array}{rr} 2&1\\{-2}&1 \end{array}\right). Med denna matris \displaystyle T får vi att

\displaystyle

T^tAT= \left(\begin{array}{rr} {15}&{0}\\{0}&{5} \end{array}\right)=D.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.16a