Tips och lösning till U 22.17b

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (22 november 2010 kl. 18.04) (redigera) (ogör)
 
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Här gäller det att genomskåda vad som skall göras. Annars blir arbetet gigantiskt ( och orimligt).
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Vi ska alltså ta fram avbildningsmatrisen <math>A^{1789}</math>. För att göra detta börjar vi med observationen att <math>
 +
A^2=TDT^t TDT^t=TD^2T^t,
 +
</math> och vidare gäller att <math>
 +
A^{1789}=...........=TD^{1789}T^t,
 +
</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Diagonalmatrisen reagerar enkelt på multiplikation med sig själv och detta i kombination med att egenvärdena är ettor och minusettor så blir problemet rimligt att lösa. Vi erhåller <center><math>
 +
D^{1789}=
 +
\left(\begin{array}{llc}
 +
0^{1789}&0&0\\
 +
0&1^{1789}&0\\
 +
0&0&(-1)^{1789}
 +
\end{array}\right)
 +
=
 +
\left(\begin{array}{rrr}
 +
0&0&0\\
 +
0&1&0\\
 +
0&0&-1
 +
\end{array}\right)
 +
=D,
 +
</math></center>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''

Nuvarande version

Tips 1

Här gäller det att genomskåda vad som skall göras. Annars blir arbetet gigantiskt ( och orimligt).

Tips 2

Vi ska alltså ta fram avbildningsmatrisen \displaystyle A^{1789}. För att göra detta börjar vi med observationen att \displaystyle A^2=TDT^t TDT^t=TD^2T^t, och vidare gäller att \displaystyle A^{1789}=...........=TD^{1789}T^t,

Tips 3

Diagonalmatrisen reagerar enkelt på multiplikation med sig själv och detta i kombination med att egenvärdena är ettor och minusettor så blir problemet rimligt att lösa. Vi erhåller
\displaystyle

D^{1789}= \left(\begin{array}{llc} 0^{1789}&0&0\\ 0&1^{1789}&0\\ 0&0&(-1)^{1789} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1 \end{array}\right) =D,

Lösning


Eftersom avbildningen \displaystyle F^2 har matrisen \displaystyle A^2 som ges av


\displaystyle

A^2=TDT^t TDT^t=TD^2T^t,


och därmed har \displaystyle F^3 matrisen \displaystyle A^3=TD^2T^t o.s.v., så har avbildningen \displaystyle F^{1789} matrisen \displaystyle A^{1789}=TD^{1789}T^t .


Vidare gäller att eftersom


\displaystyle

D^{1789}= \left(\begin{array}{llc} 0^{1789}&0&0\\ 0&1^{1789}&0\\ 0&0&(-1)^{1789} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1 \end{array}\right) =D,


så har \displaystyle F^{1789} matrisen \displaystyle A^{1789}=TD^{1789}T^t=TDT^t=A , dvs \displaystyle F^{1789}=F .

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.17b