Tips och lösning till U 22.18
SamverkanLinalgLIU
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | + | Vi skall alltså finna den matris som multiplicerad med sig själv ger den givna matrisen. Vi observerar att matrisen är symmetrisk, vilket ger en viss fingervisning om vad som skall göras. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | Vi vet att matrisen är diagonaliserbar, det betyder att den kan skrivas som <math> | |
| + | TDT^{-1}</math> | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | Om vi dessutom tänker oss att egenvärdena är positiva kan vi göra följande omskrivning <math> | |
| + | TDT^{-1}=TD^{1/2}D^{1/2}T^{-1}=\underbrace{TD^{1/2}T^{-1}}_{=B}\underbrace{TD^{1/2}T^{-1}}_{=B}=B^2.</math> Observera att detta bara är möjligt att genomföra om vi har samtliga egenvärden positiva (eftersom vi i den här kursen bara arbetar med det reella fallet). Eftersom egenvärdena är positiva är det nu bara att börja räkna ut dessa. Du avslutar med att kontrollera att den erhållna matrisen multiplicerad med sig själv ger den ursprungliga. | ||
| + | |||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
Nuvarande version
Tips 1
Vi skall alltså finna den matris som multiplicerad med sig själv ger den givna matrisen. Vi observerar att matrisen är symmetrisk, vilket ger en viss fingervisning om vad som skall göras.
Tips 2
Vi vet att matrisen är diagonaliserbar, det betyder att den kan skrivas som \displaystyle TDT^{-1}
Tips 3
Om vi dessutom tänker oss att egenvärdena är positiva kan vi göra följande omskrivning \displaystyle TDT^{-1}=TD^{1/2}D^{1/2}T^{-1}=\underbrace{TD^{1/2}T^{-1}}_{=B}\underbrace{TD^{1/2}T^{-1}}_{=B}=B^2. Observera att detta bara är möjligt att genomföra om vi har samtliga egenvärden positiva (eftersom vi i den här kursen bara arbetar med det reella fallet). Eftersom egenvärdena är positiva är det nu bara att börja räkna ut dessa. Du avslutar med att kontrollera att den erhållna matrisen multiplicerad med sig själv ger den ursprungliga.
Lösning
Låt \displaystyle A=\left(\begin{array}{rr} 5&4\\4&5 \end{array}\right) .
Om \displaystyle A är diagonaliserbar med positiva egenvärden
så är
A=TDT^{-1}=TD^{1/2}D^{1/2}T^{-1}=\underbrace{TD^{1/2}T^{-1}}_{=B}\underbrace{TD^{1/2}T^{-1}}_{=B}=B^2.
Detta betyder att om vi sätter \displaystyle B=TD^{1/2}T^{-1} , så får vi att
\displaystyle B^2=A . Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=9 , och \displaystyle \lambda_2=1 .
Tillhörande egenvektorer är \displaystyle (1,1)^t resp. \displaystyle (1,-1)^t .
Låt \displaystyle T=\left(\begin{array}{rr} 1&1\\1&-1 \end{array}\right) och
\displaystyle D=\left(\begin{array}{rr} 9&0\\0&1 \end{array}\right) .
Då är \displaystyle T^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1&1\\1&-1 \end{array}\right) och
\displaystyle D^{1/2}=\left(\begin{array}{rr} 3&0\\0&1 \end{array}\right) </math>.
Vi får alltså att
B=TD^{1/2}T^{-1}=\left(\begin{array}{rr} 1&1\\1&-1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr} 3&0\\0&1 \end{array}\right) \frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1&1\\1&-1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} 2&1\\1&2 \end{array}\right).
