Tips och lösning till U 22.1b

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (16 november 2010 kl. 15.51) (redigera) (ogör)
 
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Den fråga du skall ställa dej är "Vilka vektorer är parallella med sin egen avbildning?"
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
I detta fall kommer varje normal till planet att få motsatt riktning efter spegling och vektorer parallella med planet speglas på sig själva. Rita gärna en figur så ser du detta.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Eftersom normalerna behåller storlek efter spegling, men får motsatt riktning kommer egenvärdet att bli -1 och vektorer parallella med planet behåller riktning och storlek och får därför egenvärde 1.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
Rad 20: Rad 20:
<center><math> S(\boldsymbol{n})=(-1)\cdot \boldsymbol{n}, </math></center>
<center><math> S(\boldsymbol{n})=(-1)\cdot \boldsymbol{n}, </math></center>
där <math> \boldsymbol{n} </math> är normalen till planet.
där <math> \boldsymbol{n} </math> är normalen till planet.
-
Därmed är <math> \lambda_1=0 </math> ett egenvärde med
+
Därmed är <math> \lambda_1=-1 </math> ett egenvärde med
tillhörande egenvektor
tillhörande egenvektor
<math> \boldsymbol{n}=t(1,1,1)^t </math>.
<math> \boldsymbol{n}=t(1,1,1)^t </math>.
Eftersom vektorer parallella med planet speglas i sig själva, så är
Eftersom vektorer parallella med planet speglas i sig själva, så är
-
<math> \lambda_{2,3}=1 </math> är egenvärde med egenrummet
+
<math> \lambda_{2,3}=1 </math> egenvärde med egenrummet
<math> E_{\lambda=1}=\{\boldsymbol{x}:\ x_1+x_2+x_3=0\} </math>.
<math> E_{\lambda=1}=\{\boldsymbol{x}:\ x_1+x_2+x_3=0\} </math>.

Nuvarande version

Tips 1

Den fråga du skall ställa dej är "Vilka vektorer är parallella med sin egen avbildning?"

Tips 2

I detta fall kommer varje normal till planet att få motsatt riktning efter spegling och vektorer parallella med planet speglas på sig själva. Rita gärna en figur så ser du detta.

Tips 3

Eftersom normalerna behåller storlek efter spegling, men får motsatt riktning kommer egenvärdet att bli -1 och vektorer parallella med planet behåller riktning och storlek och får därför egenvärde 1.

Lösning



Om \displaystyle S är en spegling i ett plan så gäller att

\displaystyle S(\boldsymbol{n})=(-1)\cdot \boldsymbol{n},

där \displaystyle \boldsymbol{n} är normalen till planet. Därmed är \displaystyle \lambda_1=-1 ett egenvärde med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{n}=t(1,1,1)^t .

Eftersom vektorer parallella med planet speglas i sig själva, så är \displaystyle \lambda_{2,3}=1 egenvärde med egenrummet \displaystyle E_{\lambda=1}=\{\boldsymbol{x}:\ x_1+x_2+x_3=0\} .

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.1b