Tips och lösning till U 22.1d
SamverkanLinalgLIU
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | + | Stääl dej frågan"Vilka vektorer är parallella med sig själva efter avbildningen?" Rita figur! | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | Liksom i föregående uppgift så kommer vektorer parallella med rotationsaxeln att behålla sin storlek och riktning. Vidare kommer de vektorer som ligger i det plan som har <math> (1,1,1)^t </math> som normal efter vridning ett halvt varv att bli motsatt riktade sitt ursprung. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | Resultatet blir att vektorer parallella med rotationsaxeln, dvs vektorerna <math> t(1,1,1)^t </math> kommer att ha egenvärde 1 och vektorer parallella med planet <math> x_1+x_2+x_3=0 </math> kommer att ha egenvärde -1. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
| Rad 16: | Rad 16: | ||
| - | En rotation <math> R </math> vinkeln <math> \pi </math> kring <math> (1,1,1)^t </math> | + | En rotation <math> R </math> vinkeln <math> \pi </math> kring <math> (1,1,1)^t </math> behåller riktning och storlek för vektorer parallella med <math> (1,1,1)^t </math>. Detta betyder att <math> R </math> har ett egenvärde |
| - | + | ||
<math> \lambda_1=1 </math> med tillhörande egenvektor <math> t(1,1,1)^t </math> och egenrummet är | <math> \lambda_1=1 </math> med tillhörande egenvektor <math> t(1,1,1)^t </math> och egenrummet är | ||
<math> E=[(1,1,1)^t </math>]. Vidare kommer alla vektorer parallella med planet | <math> E=[(1,1,1)^t </math>]. Vidare kommer alla vektorer parallella med planet | ||
Nuvarande version
Tips 1
Stääl dej frågan"Vilka vektorer är parallella med sig själva efter avbildningen?" Rita figur!
Tips 2
Liksom i föregående uppgift så kommer vektorer parallella med rotationsaxeln att behålla sin storlek och riktning. Vidare kommer de vektorer som ligger i det plan som har \displaystyle (1,1,1)^t som normal efter vridning ett halvt varv att bli motsatt riktade sitt ursprung.
Tips 3
Resultatet blir att vektorer parallella med rotationsaxeln, dvs vektorerna \displaystyle t(1,1,1)^t kommer att ha egenvärde 1 och vektorer parallella med planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0 kommer att ha egenvärde -1.
Lösning
En rotation \displaystyle R vinkeln \displaystyle \pi kring \displaystyle (1,1,1)^t behåller riktning och storlek för vektorer parallella med \displaystyle (1,1,1)^t . Detta betyder att \displaystyle R har ett egenvärde \displaystyle \lambda_1=1 med tillhörande egenvektor \displaystyle t(1,1,1)^t och egenrummet är \displaystyle E=[(1,1,1)^t ]. Vidare kommer alla vektorer parallella med planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0 med \displaystyle (1,1,1)^t som normal att roteras på motsatt håll. Alltså är \displaystyle \lambda_{2,3}=-1 är egenvärden med egenrummet \displaystyle E_{\lambda=1}=\{\boldsymbol{x}:\ x_1+x_2+x_3=0\} .
