Tips och lösning till U 22.22b

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Rad 13: Rad 13:
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
Ekvationen på matrisform blir
 +
 +
 +
<center><math>
 +
2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}2&-2&0\\-2&1&-2\\0&-2&0\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>X^tAX=1.</math></center>
 +
 +
 +
Eftersom <math> A </math> är symmetrisk så följer av spektralsatsen att <math> A </math> är
 +
diagonaliserbar, dvs <math> A=TDT^{t} </math>.
 +
 +
Egenvärdena till <math> A </math> är <math> \lambda_1=-2 </math>, <math> \lambda_2=1 </math> och <math> \lambda_3=4 </math>.
 +
Tillhörande ON-bas <math> \underline{\boldsymbol{f}} </math> av egenvektorer är
 +
<math> \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r} 1\\2\\2\end{array}\right) </math>,
 +
<math> \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r} 2\\1\\-2\end{array}\right) </math>
 +
resp.
 +
<math> \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r}-2\\2\\-1\end{array}\right) </math>.
 +
 +
Alltså är <math> A </math> diagonaliserbar med <math> A=TDT^{t} </math>, där
 +
<math> D=\left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{array}\right) </math> och
 +
 +
<math> T=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} 1&2&-2\\2&1&2\\2&-2&-2\end{array}\right) </math>
 +
är ortogonal.
 +
Ekvationen kan i den nya ON-basen <math> \underline{\boldsymbol{f}} </math> och med nya koordinater
 +
<math> Y </math>, där <math> X=TY </math> skrivas
 +
 +
 +
<center><math>
 +
2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
X^tAX=1 \Leftrightarrow (TY)^tTDT^tTY=1
 +
\Leftrightarrow Y^tT^tTDT^{t}TY=1 \Leftrightarrow Y^tDY=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
-2y_1^2+y_2^2+4y_3^2=1.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Detta visar att ekvationen beskriver en enmantlad hyperbolid.

Versionen från 20 september 2010 kl. 08.32

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Ekvationen på matrisform blir


\displaystyle

2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle

(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}2&-2&0\\-2&1&-2\\0&-2&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle X^tAX=1.


Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^{t} .

Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=-2 , \displaystyle \lambda_2=1 och \displaystyle \lambda_3=4 . Tillhörande ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} av egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r} 1\\2\\2\end{array}\right) , \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r} 2\\1\\-2\end{array}\right) resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r}-2\\2\\-1\end{array}\right) .

Alltså är \displaystyle A diagonaliserbar med \displaystyle A=TDT^{t} , där \displaystyle D=\left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{array}\right) och

\displaystyle T=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} 1&2&-2\\2&1&2\\2&-2&-2\end{array}\right) är ortogonal. Ekvationen kan i den nya ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY skrivas


\displaystyle

2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle

X^tAX=1 \Leftrightarrow (TY)^tTDT^tTY=1 \Leftrightarrow Y^tT^tTDT^{t}TY=1 \Leftrightarrow Y^tDY=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle

(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle

-2y_1^2+y_2^2+4y_3^2=1.


Detta visar att ekvationen beskriver en enmantlad hyperbolid.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.22b