Tips och lösning till U 22.22c
SamverkanLinalgLIU
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''') |
|||
Rad 13: | Rad 13: | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Ekvationen på matrisform blir | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math> | ||
+ | -x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1 | ||
+ | </math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math>\Leftrightarrow</math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math>(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}-1&1&-1\\-1&-1&-1\\1&-1&-1\end{array}\right) | ||
+ | \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1 | ||
+ | </math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math>\Leftrightarrow</math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math>X^tAX=1.</math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Eftersom <math> A </math> är symmetrisk så följer av spektralsatsen att <math> A </math> är | ||
+ | diagonaliserbar, dvs <math> A=TDT^{t} </math>. | ||
+ | |||
+ | Egenvärdena till <math> A </math> är <math> \lambda_1=-2 </math>, <math> \lambda_2=-2 </math> och <math> \lambda_3=1 </math>. | ||
+ | Tillhörande ON-bas <math> \underline{\boldsymbol{f}} </math> av egenvektorer är | ||
+ | <math> \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt6}\left(\begin{array}{r} 1\\2\\1\end{array}\right) </math>, | ||
+ | <math> \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{r} -1\\0\\1\end{array}\right) </math> | ||
+ | resp. | ||
+ | <math> \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt3}\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) </math>. | ||
+ | |||
+ | Alltså är <math> A </math> diagonaliserbar med <math> A=TDT^{t} </math>, där | ||
+ | <math> D=\left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{array}\right) </math> och | ||
+ | |||
+ | <math> T=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} 1/{\sqrt6} &-1/{\sqrt2}&1/{\sqrt3}\\2/{\sqrt6}&0&1/{\sqrt3}\\1/{\sqrt3}&-1/{\sqrt3}&1/{\sqrt3}\end{array}\right) </math> | ||
+ | är ortogonal. | ||
+ | |||
+ | Ekvationen kan i den nya ON-basen <math> \underline{\boldsymbol{f}} </math> och med nya koordinater | ||
+ | <math> Y </math>, där <math> X=TY </math> skrivas | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math> | ||
+ | -x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1 | ||
+ | </math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math>\Leftrightarrow</math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math> | ||
+ | X^tAX=1 \Leftrightarrow (TY)^tTDT^tTY=1 | ||
+ | \Leftrightarrow Y^tT^tTDT^{t}TY=1 \Leftrightarrow Y^tDY=1 | ||
+ | </math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math>\Leftrightarrow</math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math> | ||
+ | (y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{array}\right) | ||
+ | \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1 | ||
+ | </math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math>\Leftrightarrow</math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math> | ||
+ | -2y_1^2-2y_2^2+y_3^2=1. | ||
+ | </math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Detta visar att ekvationen beskriver en tvåmantlad hyperbolid. |
Versionen från 20 september 2010 kl. 08.51
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Ekvationen på matrisform blir
-x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1
\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1
Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är
diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^{t} .
Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=-2 , \displaystyle \lambda_2=-2 och \displaystyle \lambda_3=1 . Tillhörande ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} av egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt6}\left(\begin{array}{r} 1\\2\\1\end{array}\right) , \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{r} -1\\0\\1\end{array}\right) resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt3}\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) .
Alltså är \displaystyle A diagonaliserbar med \displaystyle A=TDT^{t} , där \displaystyle D=\left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{array}\right) och
\displaystyle T=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} 1/{\sqrt6} &-1/{\sqrt2}&1/{\sqrt3}\\2/{\sqrt6}&0&1/{\sqrt3}\\1/{\sqrt3}&-1/{\sqrt3}&1/{\sqrt3}\end{array}\right) är ortogonal.
Ekvationen kan i den nya ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY skrivas
-x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1
X^tAX=1 \Leftrightarrow (TY)^tTDT^tTY=1 \Leftrightarrow Y^tT^tTDT^{t}TY=1 \Leftrightarrow Y^tDY=1
(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1
-2y_1^2-2y_2^2+y_3^2=1.
Detta visar att ekvationen beskriver en tvåmantlad hyperbolid.