Tips och lösning till U 22.22c

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Nuvarande version (4 december 2010 kl. 17.11) (redigera) (ogör)
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Vi följer samma metodik som i b-uppgiften.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
i följer samma metodik som i b-uppgiften.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
i följer samma metodik som i b-uppgiften.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
 +
Ekvationen på matrisform blir
 +
 +
 +
<center><math>
 +
-x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}-1&1&-1\\-1&-1&-1\\1&-1&-1\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>X^tAX=1.</math></center>
 +
 +
 +
Eftersom <math> A </math> är symmetrisk så följer av spektralsatsen att <math> A </math> är
 +
diagonaliserbar, dvs <math> A=TDT^{t} </math>.
 +
 +
Egenvärdena till <math> A </math> är <math> \lambda_1=-2 </math>, <math> \lambda_2=-2 </math> och <math> \lambda_3=1 </math>.
 +
Tillhörande ON-bas <math> \underline{\boldsymbol{f}} </math> av egenvektorer är
 +
<math> \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt6}\left(\begin{array}{r} 1\\2\\1\end{array}\right) </math>,
 +
<math> \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{r} -1\\0\\1\end{array}\right) </math>
 +
resp.
 +
<math> \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt3}\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) </math>.
 +
 +
Alltså är <math> A </math> diagonaliserbar med <math> A=TDT^{t} </math>, där
 +
<math> D=\left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{array}\right) </math> och
 +
 +
<math> T=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} 1/{\sqrt6} &-1/{\sqrt2}&1/{\sqrt3}\\2/{\sqrt6}&0&1/{\sqrt3}\\1/{\sqrt3}&-1/{\sqrt3}&1/{\sqrt3}\end{array}\right) </math>
 +
är ortogonal.
 +
 +
Ekvationen kan i den nya ON-basen <math> \underline{\boldsymbol{f}} </math> och med nya koordinater
 +
<math> Y </math>, där <math> X=TY </math> skrivas
 +
 +
 +
<center><math>
 +
-x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
X^tAX=1 \Leftrightarrow (TY)^tTDT^tTY=1
 +
\Leftrightarrow Y^tT^tTDT^{t}TY=1 \Leftrightarrow Y^tDY=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
-2y_1^2-2y_2^2+y_3^2=1.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Detta visar att ekvationen beskriver en tvåmantlad hyperbolid.

Nuvarande version

Tips 1

Vi följer samma metodik som i b-uppgiften.

Tips 2

i följer samma metodik som i b-uppgiften.

Tips 3

i följer samma metodik som i b-uppgiften.

Lösning


Ekvationen på matrisform blir


\displaystyle

-x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle (x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}-1&1&-1\\-1&-1&-1\\1&-1&-1\end{array}\right)

\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle X^tAX=1.


Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^{t} .

Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=-2 , \displaystyle \lambda_2=-2 och \displaystyle \lambda_3=1 . Tillhörande ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} av egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt6}\left(\begin{array}{r} 1\\2\\1\end{array}\right) , \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{r} -1\\0\\1\end{array}\right) resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt3}\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) .

Alltså är \displaystyle A diagonaliserbar med \displaystyle A=TDT^{t} , där \displaystyle D=\left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{array}\right) och

\displaystyle T=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} 1/{\sqrt6} &-1/{\sqrt2}&1/{\sqrt3}\\2/{\sqrt6}&0&1/{\sqrt3}\\1/{\sqrt3}&-1/{\sqrt3}&1/{\sqrt3}\end{array}\right) är ortogonal.

Ekvationen kan i den nya ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY skrivas


\displaystyle

-x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle

X^tAX=1 \Leftrightarrow (TY)^tTDT^tTY=1 \Leftrightarrow Y^tT^tTDT^{t}TY=1 \Leftrightarrow Y^tDY=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle

(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle

-2y_1^2-2y_2^2+y_3^2=1.


Detta visar att ekvationen beskriver en tvåmantlad hyperbolid.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.22c