Tips och lösning till U 22.23

Tips 1

För att problemet skall bli hanterligt övergår vi till kanoniska bas.

Tips 2

En bas av egenvektorer gör att vi kan göra omskrivning av både Q och enhetscirkeln. Vi erhåller följande resultat \displaystyle

Q=\frac{1}{2}y_1^2+\frac{5}{2}y_2^2.

.

Enhetscirkeln är återigen en enhetscirkel även efter bytet till kanonisk bas, ty

\displaystyle

1=x_1^2+x_2^2=X^tX=(TY)^tTY=Y^tT^tTY=Y^tY=y_1^2+y_2^2.

Nu återstår att söka Q:s största och minsta värde under bivillkoret att våra två variabler ligger på enhetscirkeln. (Detta är en typ av problem som du kommer att lära dej mera om i flervariabelanalysen i åk2)

Tips 3

För att finna störtsa och minsta värde gör vi en överskattning och en underskattning så att vi kan införa bivillkoret att vi ligger på enhetscirkeln.

Överskattningen gör man lämpligen enl följande:

\displaystyle

Q=\frac{1}{2}y_1^2+\frac{5}{2}y_2^2\leq \frac{5}{2}y_1^2+\frac{5}{2}y_2^2 =\frac{5}{2}\underbrace{(y_1^2+y_2^2)}_{=1}=\frac{5}{2},

Underskattningen enl

\displaystyle

Q=\frac{1}{2}y_1^2+\frac{5}{2}y_2^2\geq \frac{1}{2}y_1^2+\frac{1}{2}y_2^2 =\frac{1}{2}\underbrace{(y_1^2+y_2^2)}_{=1}=\frac{1}{2},

Återstår sedan att bestämma de punkter där det största resp minsta värdet antas. Börja med den nya basen och du skall sedan besvara frågan i den gamla basen.

Lösning

Den kvadratiska formen kan skrivas på matrisform enligt

\displaystyle

Q=x_1^2+\sqrt3x_1x_2+2x_2^2 =(x_1\ x_2) \left(\begin{array}{ccc}1&\sqrt3/2\\\sqrt3&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\end{array}\right) =X^tAX,

där \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1&\sqrt3/2\\\sqrt3&2\end{array}\right) . Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^t .

Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=\frac{1}{2} , och \displaystyle \lambda_2=\frac{5}{2} med tillhörande ON-bas av egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{2}\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{c}{-\sqrt3}\\{1} \end{array}\right) resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{2}\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{c}{1}&{\sqrt3} \end{array}\right) .

I kanonisk bas, dvs i ON-bas av egenvektorer och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY kan vi skriva

\displaystyle

Q=\frac{1}{2}y_1^2+\frac{5}{2}y_2^2.

Enhetscirkeln är återigen en enhetscirkel även efter bytet till kanonisk bas, ty

\displaystyle

1=x_1^2+x_2^2=X^tX=(TY)^tTY=Y^tT^tTY=Y^tY=y_1^2+y_2^2.

För att bestämma största resp. minsta värde hos \displaystyle Q , så skattar vi \displaystyle Q uppåt resp. nedåt, dvs

\displaystyle

Q=\frac{1}{2}y_1^2+\frac{5}{2}y_2^2\leq \frac{5}{2}y_1^2+\frac{5}{2}y_2^2 =\frac{5}{2}\underbrace{(y_1^2+y_2^2)}_{=1}=\frac{5}{2},

samt

\displaystyle

Q=\frac{1}{2}y_1^2+\frac{5}{2}y_2^2\geq \frac{1}{2}y_1^2+\frac{1}{2}y_2^2 =\frac{1}{2}\underbrace{(y_1^2+y_2^2)}_{=1}=\frac{1}{2},

Vi får alltså att \displaystyle Q :s största värde är \displaystyle \frac{5}{2} som antas i punkten \displaystyle y_1=0 och \displaystyle y_2=\pm1 . I gamla koordinater är punkten

\displaystyle

X=TY=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-\sqrt3&1\\1&\sqrt3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}0\\ \pm1\end{array}\right) =\pm \frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1\\\sqrt3\end{array}\right),

dvs i \displaystyle x_1=-1 och \displaystyle x_2=-\frac{\sqrt3}{2} resp. \displaystyle x_1=1 och \displaystyle x_2=\frac{\sqrt3}{2} .

På samma sätt är \displaystyle Q:s mista värde \displaystyle \frac{1}{2}. Det antas i punkterna \displaystyle \pm\frac{1}{2}(-\sqrt3,1).