Tips och lösning till U 22.23
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Den kvadratiska formen kan skrivas på matrisform enligt
Q=x_1^2+\sqrt3x_1x_2+2x_2^2 =(x_1\ x_2) \left(\begin{array}{ccc}1&\sqrt3/2\\\sqrt3&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\end{array}\right) =X^tAX,
där \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1&\sqrt3/2\\\sqrt3&2\end{array}\right) .
Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är
diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^t .
Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=\frac{1}{2} , och \displaystyle \lambda_2=\frac{5}{2} med tillhörande ON-bas av egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{2}\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{c}{-\sqrt3}\\{1} \end{array}\right) resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{2}\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{c}{1}&{\sqrt3} \end{array}\right) .
I kanonisk bas, dvs i ON-bas av egenvektorer och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY kan vi skriva
Q=\frac{1}{2}y_1^2+\frac{5}{2}y_2^2.
Enhetscirkeln är återigen en enhetscirkel även efter bytet
till kanonisk bas, ty
1=x_1^2+x_2^2=X^tX=(TY)^tTY=Y^tT^tTY=Y^tY=y_1^2+y_2^2.
För att bestämma största resp. minsta värde hos \displaystyle Q , så
skattar vi \displaystyle Q uppåt resp. nedåt, dvs
Q=\frac{1}{2}y_1^2+\frac{5}{2}y_2^2\leq \frac{5}{2}y_1^2+\frac{5}{2}y_2^2 =\frac{5}{2}\underbrace{(y_1^2+y_2^2)}_{=1}=\frac{5}{2},
samt
Q=\frac{1}{2}y_1^2+\frac{5}{2}y_2^2\geq \frac{1}{2}y_1^2+\frac{1}{2}y_2^2 =\frac{1}{2}\underbrace{(y_1^2+y_2^2)}_{=1}=\frac{1}{2},
Vi får alltså att \displaystyle Q :s största värde är \displaystyle \frac{5}{2} som antas i
punkten \displaystyle y_1=0 och \displaystyle y_2=\pm1 . I gamla koordinater är punkten
X=TY=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-\sqrt3&1\\1&\sqrt3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}0\\ \pm1\end{array}\right) =\pm \frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1\\\sqrt3\end{array}\right),
dvs i \displaystyle x_1=-1 och \displaystyle x_2=-\frac{\sqrt3}{2} resp.
\displaystyle x_1=1 och \displaystyle x_2=\frac{\sqrt3}{2} .
På samma sätt är \displaystyle Q:s mista värde \displaystyle \frac{1}{2}. Det antas i punkterna \displaystyle \pm\frac{1}{2}(-\sqrt3,1).
