Tips och lösning till U 22.25

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Rad 13: Rad 13:
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
 +
Vi skriver kurvan på matrisform enligt
 +
 +
 +
<center><math>
 +
20=17x_1^2-12x_1x_2+8x_2^2
 +
=(x_1\ x_2) \left(\begin{array}{cc}17&-6\\-6&8\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\end{array}\right)
 +
=X^tAX,
 +
</math></center>
 +
 +
 +
där <math> A=\left(\begin{array}{cc}17&-6\\-6&8\end{array}\right) </math>.
 +
Eftersom <math> A </math> är symmetrisk så följer av spektralsatsen att <math> A </math> är
 +
diagonaliserbar, dvs <math> A=TDT^t </math>.
 +
 +
Egenvärdena till <math> A </math> är <math> \lambda_1=5 </math>, och
 +
<math> \lambda_2=20 </math> med tillhörande ON-bas av egenvektorer
 +
<math> \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt5}\underline{\boldsymbol{e}}
 +
\left(\begin{array}{cc}1\\2 \end{array}\right)</math> resp.
 +
<math> \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt5}\underline{\boldsymbol{e}}
 +
\left(\begin{array}{c}2\\-1 \end{array}\right)</math>.
 +
 +
 +
 +
I kanonisk bas, dvs i en ON-bas av egenvektorer och med
 +
nya koordinater <math> Y </math>, där <math> X=TY </math> kan kurvan skrivas
 +
 +
 +
<center><math>
 +
17x_1^2-12x_1x_2+8x_2^2 =20\Leftrightarrow
 +
5y_1^2+20y_2^2=20\Leftrightarrow y_1^2+4y_2^2=4.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Vi ser nu att kurvan <math> y_1^2+4y_2^2=4 </math> är en ellips.
 +
 +
 +
Låt <math> (y_1,y_2) </math> vara en godtycklig punkt på ellipsen.
 +
Avståndet <math> d </math> från denna punkt till origo ges av Pythagoras sats,
 +
<math> d=\sqrt{y_1^2+y_2^2} </math>.
 +
Vi får då
 +
 +
 +
<center><math>
 +
d^2=y_1^2+y_2^2=\Big\{y_1^2=4-4y_2^2\Big\}
 +
=4-4y_2^2 +y_2^2=4-3y_2^2\leq4.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Alltså är <math> d\leq2 </math> och <math> d_{\mbox{max}}=2 </math> i punkterna <math> y_1=\pm2 </math>, <math> y_2=0 </math>.
 +
 +
Vidare är
 +
 +
 +
<center><math>
 +
d^2=y_1^2+y_2^2=\Big\{y_2^2=1-\frac{1}{4}y_1^2\Big\}
 +
=y_1^2 +1-\frac{1}{4}y_1^2=1+\frac{3}{4}y_1^2\geq1.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Detta ger att <math> d\geq1 </math> och <math> d_{\mbox{min}}=1 </math> i punkterna <math> y_1=0 </math>, <math> y_2=\pm1 </math>.
 +
 +
 +
I gamla koordinater ges närmaste punkter till origo och punkter som ligger
 +
längst bort från origo av
 +
 +
 +
<center><math>
 +
X=TY=\frac{1}{\sqrt5}\left(\begin{array}{rr}1&2\\2&-1\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}0\\ \pm1\end{array}\right)
 +
=\pm \frac{1}{\sqrt5}\left(\begin{array}{rr}2\\-1\end{array}\right),
 +
</math></center>
 +
 +
 +
resp.
 +
<center><math>
 +
X=TY=\frac{1}{\sqrt5}\left(\begin{array}{rr}1&2\\2&-1\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}\pm2\\0\end{array}\right)
 +
=\pm \frac{2}{\sqrt5}\left(\begin{array}{rr}1\\2\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Alltså ligger punkterna <math> \pm \frac{1}{\sqrt5}(2,-1) </math> närmast origo och
 +
punkterna <math> \pm \frac{1}{\sqrt5}(1,2) </math> längst bort från origo.

Versionen från 20 september 2010 kl. 09.05

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Vi skriver kurvan på matrisform enligt


\displaystyle

20=17x_1^2-12x_1x_2+8x_2^2 =(x_1\ x_2) \left(\begin{array}{cc}17&-6\\-6&8\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\end{array}\right) =X^tAX,


där \displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}17&-6\\-6&8\end{array}\right) . Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^t .

Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=5 , och \displaystyle \lambda_2=20 med tillhörande ON-bas av egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt5}\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{cc}1\\2 \end{array}\right) resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt5}\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{c}2\\-1 \end{array}\right).


I kanonisk bas, dvs i en ON-bas av egenvektorer och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY kan kurvan skrivas


\displaystyle

17x_1^2-12x_1x_2+8x_2^2 =20\Leftrightarrow 5y_1^2+20y_2^2=20\Leftrightarrow y_1^2+4y_2^2=4.


Vi ser nu att kurvan \displaystyle y_1^2+4y_2^2=4 är en ellips.


Låt \displaystyle (y_1,y_2) vara en godtycklig punkt på ellipsen. Avståndet \displaystyle d från denna punkt till origo ges av Pythagoras sats, \displaystyle d=\sqrt{y_1^2+y_2^2} . Vi får då


\displaystyle

d^2=y_1^2+y_2^2=\Big\{y_1^2=4-4y_2^2\Big\} =4-4y_2^2 +y_2^2=4-3y_2^2\leq4.


Alltså är \displaystyle d\leq2 och \displaystyle d_{\mbox{max}}=2 i punkterna \displaystyle y_1=\pm2 , \displaystyle y_2=0 .

Vidare är


\displaystyle

d^2=y_1^2+y_2^2=\Big\{y_2^2=1-\frac{1}{4}y_1^2\Big\} =y_1^2 +1-\frac{1}{4}y_1^2=1+\frac{3}{4}y_1^2\geq1.


Detta ger att \displaystyle d\geq1 och \displaystyle d_{\mbox{min}}=1 i punkterna \displaystyle y_1=0 , \displaystyle y_2=\pm1 .


I gamla koordinater ges närmaste punkter till origo och punkter som ligger längst bort från origo av


\displaystyle

X=TY=\frac{1}{\sqrt5}\left(\begin{array}{rr}1&2\\2&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}0\\ \pm1\end{array}\right) =\pm \frac{1}{\sqrt5}\left(\begin{array}{rr}2\\-1\end{array}\right),


resp.

\displaystyle

X=TY=\frac{1}{\sqrt5}\left(\begin{array}{rr}1&2\\2&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\pm2\\0\end{array}\right) =\pm \frac{2}{\sqrt5}\left(\begin{array}{rr}1\\2\end{array}\right).


Alltså ligger punkterna \displaystyle \pm \frac{1}{\sqrt5}(2,-1) närmast origo och punkterna \displaystyle \pm \frac{1}{\sqrt5}(1,2) längst bort från origo.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.25