Tips och lösning till U 22.26

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Rad 13: Rad 13:
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
 +
Vi skriver kurvan på matrisform enligt
 +
 +
 +
<center><math>
 +
1=x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2
 +
=(x_1\ x_2) \left(\begin{array}{cc}1&-1\\-1&3\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\end{array}\right)
 +
=X^tAX,
 +
</math></center>
 +
 +
 +
där <math> A=\left(\begin{array}{cc}1&-3\\-3&3\end{array}\right) </math>.
 +
Eftersom <math> A </math> är symmetrisk så följer av spektralsatsen att <math> A </math> är
 +
diagonaliserbar, dvs <math> A=TDT^t </math>.
 +
 +
Egenvärdena till <math> A </math> är <math> \lambda_1=2-\sqrt2 </math>, och
 +
<math> \lambda_2=2+\sqrt2 </math> med tillhörande egenrum
 +
<math> E_{\lambda_1}=[(1,\sqrt2-1)^t] </math> resp.
 +
<math> E_{\lambda_2}=[(1,-\sqrt2-1)^t] </math>.
 +
 +
 +
I kanonisk bas, dvs i en ON-bas av egenvektorer och med
 +
nya koordinater <math> Y </math>, där <math> X=TY </math> kan kurvan skrivas
 +
 +
 +
<center><math>
 +
x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2=1\Leftrightarrow
 +
(2-\sqrt2)y_1^2+(2+\sqrt2)y_2^2=1.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Vi ser nu att kurvan är en ellips. Vi skriver ekvationen på en form så
 +
att vi kan identifiera <math> a </math> och <math> b </math> i uttrycket
 +
<math> \frac{y^2_1}{a^2}+\frac{y^2_2}{b^2}=1 </math>.
 +
Det gäller att
 +
 +
 +
<center><math>
 +
(2-\sqrt2)y_1^2+(2+\sqrt2)y_2^2=1
 +
\Leftrightarrow
 +
\frac{y_1^2}{\frac{1}{2-\sqrt2}}+\frac{y_2^2}{\frac{1}{2+\sqrt2}}=1.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Vi får att <math> a=\sqrt{2-\sqrt2} </math> och <math> b=\sqrt{2+\sqrt2} </math>, så att
 +
arean är
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\pi ab=\pi\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt2}} \frac{1}{\sqrt{2+\sqrt2}}=\pi\frac{1}{\sqrt2}=\pi\frac{\sqrt2}{2}.
 +
</math></center>

Versionen från 20 september 2010 kl. 09.06

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Vi skriver kurvan på matrisform enligt


\displaystyle

1=x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2 =(x_1\ x_2) \left(\begin{array}{cc}1&-1\\-1&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\end{array}\right) =X^tAX,


där \displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1&-3\\-3&3\end{array}\right) . Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^t .

Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=2-\sqrt2 , och \displaystyle \lambda_2=2+\sqrt2 med tillhörande egenrum \displaystyle E_{\lambda_1}=[(1,\sqrt2-1)^t] resp. \displaystyle E_{\lambda_2}=[(1,-\sqrt2-1)^t] .


I kanonisk bas, dvs i en ON-bas av egenvektorer och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY kan kurvan skrivas


\displaystyle

x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2=1\Leftrightarrow (2-\sqrt2)y_1^2+(2+\sqrt2)y_2^2=1.


Vi ser nu att kurvan är en ellips. Vi skriver ekvationen på en form så att vi kan identifiera \displaystyle a och \displaystyle b i uttrycket \displaystyle \frac{y^2_1}{a^2}+\frac{y^2_2}{b^2}=1 . Det gäller att


\displaystyle

(2-\sqrt2)y_1^2+(2+\sqrt2)y_2^2=1 \Leftrightarrow \frac{y_1^2}{\frac{1}{2-\sqrt2}}+\frac{y_2^2}{\frac{1}{2+\sqrt2}}=1.


Vi får att \displaystyle a=\sqrt{2-\sqrt2} och \displaystyle b=\sqrt{2+\sqrt2} , så att arean är


\displaystyle

\pi ab=\pi\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt2}} \frac{1}{\sqrt{2+\sqrt2}}=\pi\frac{1}{\sqrt2}=\pi\frac{\sqrt2}{2}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.26