Tips och lösning till U 22.26
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi skriver kurvan på matrisform enligt
1=x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2 =(x_1\ x_2) \left(\begin{array}{cc}1&-1\\-1&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\end{array}\right) =X^tAX,
där \displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1&-3\\-3&3\end{array}\right) .
Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är
diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^t .
Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=2-\sqrt2 , och \displaystyle \lambda_2=2+\sqrt2 med tillhörande egenrum \displaystyle E_{\lambda_1}=[(1,\sqrt2-1)^t] resp. \displaystyle E_{\lambda_2}=[(1,-\sqrt2-1)^t] .
I kanonisk bas, dvs i en ON-bas av egenvektorer och med
nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY kan kurvan skrivas
x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2=1\Leftrightarrow (2-\sqrt2)y_1^2+(2+\sqrt2)y_2^2=1.
Vi ser nu att kurvan är en ellips. Vi skriver ekvationen på en form så
att vi kan identifiera \displaystyle a och \displaystyle b i uttrycket
\displaystyle \frac{y^2_1}{a^2}+\frac{y^2_2}{b^2}=1 .
Det gäller att
(2-\sqrt2)y_1^2+(2+\sqrt2)y_2^2=1 \Leftrightarrow \frac{y_1^2}{\frac{1}{2-\sqrt2}}+\frac{y_2^2}{\frac{1}{2+\sqrt2}}=1.
Vi får att \displaystyle a=\sqrt{2-\sqrt2} och \displaystyle b=\sqrt{2+\sqrt2} , så att
arean är
\pi ab=\pi\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt2}} \frac{1}{\sqrt{2+\sqrt2}}=\pi\frac{1}{\sqrt2}=\pi\frac{\sqrt2}{2}.
