Tips och lösning till U 22.29

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Nuvarande version (6 december 2010 kl. 19.16) (redigera) (ogör)
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Vi följer samma mönster som i föregående uppgift.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Vi följer samma mönster som i föregående uppgift.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Vi följer samma mönster som i föregående uppgift.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
 +
Den kvadratiska formen kan skrivas på matrisform enligt
 +
 +
 +
<center><math>
 +
Q=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3
 +
=(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&-1\\1&-1&1\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)
 +
=X^tAX.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Eftersom <math> A </math> är symmetrisk så följer av spektralsatsen att <math> A </math> är
 +
diagonaliserbar, dvs <math> A=TDT^t </math>.
 +
 +
Egenvärdena till <math> A </math> är <math> \lambda_1=-1 </math>,
 +
<math> \lambda_2=2 </math> och <math> \lambda_3=2 </math>
 +
med tillhörande ON-bas av egenvektorer
 +
<math> \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt3}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}-1\\1\\ 1\end{array}\right) </math>,
 +
<math> \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\0\\ 1\end{array}\right) </math>,
 +
och
 +
<math> \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt6}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 1\\2\\ -1\end{array}\right) </math>
 +
 +
 +
 +
I kanonisk bas, dvs i ON-bas av egenvektorer och med
 +
nya koordinater <math> Y </math>, där <math> X=TY </math> kan vi skriva
 +
 +
 +
<center><math>
 +
Q=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3=-y_1^2+2y_2^2+2y_3^2.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Enhetssfären är återigen en enhetssfär även efter bytet
 +
till kanonisk bas, ty
 +
 +
 +
<center><math>
 +
1=x_1^2+x_2^2+x_3^2=X^tX=(TY)^tTY=Y^tT^tTY=Y^tY=y_1^2+y_2^2+y_3^2.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
i) För att bestämma största värdet hos <math> Q </math>
 +
skattar vi <math> Q </math> uppåt, dvs
 +
 +
 +
<center><math>
 +
Q=-y_1^2+2y_2^2+2y_3^2\leq 2y_1^2+2y_2^2+2y_3^2
 +
=2\underbrace{(y_1^2+y_2^2+y_3^2)}_{=1}=2,
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Vi får alltså att <math> Q </math>:s största värde är 2 som antas
 +
i punkter på enhetscirkeln <math> y_1=0 </math>, <math> y_2^2+y_3^2=1 </math>.
 +
Vi kan också välja att beskriva enhetscirkeln som skärningen mellan
 +
planet <math> y_1=0 </math> och enhetssfären <math> y_1^2 +y_2^2+y_3^2=1 </math>.
 +
Vi ska nu gå tillbaka och skriva planet <math> y_1=0 </math> i dem gamla
 +
koordinaterna <math> X=TY </math>, där <math> Y=T^tX </math> och <math> Y^t=X^tT </math>.
 +
 +
 +
Vi får
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\begin{array}{rcl}
 +
0&=&y_1=(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)
 +
=Y^t \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)
 +
=X^tT \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\
 +
&=&(x_1\ x_2\ x_3)
 +
\left(\begin{array}{rrr} -1/\sqrt3& 1/\sqrt2& 1\sqrt6\\
 +
1/\sqrt3& 0& 2\sqrt6\\
 +
1/\sqrt3& 1/\sqrt2& -1\sqrt6
 +
\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\
 +
&=&(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{c}-1/\sqrt3\\ 1\sqrt3\\1\sqrt3\end{array}\right)
 +
=-\frac{1}{\sqrt3}x_1+\frac{1}{\sqrt3}x_2+\frac{1}{\sqrt3}x_3.
 +
\end{array}
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Därmed har vi visat att <math> Q </math> antar sitt största värde 4 på skärningen
 +
mellan planet <math> x_1-x_2-x_3=0 </math> och enhetssfären
 +
<math> x_1^2 +x_2^2+x_3^2=1 </math>. Man kan visa att denna skärning är en ellips.
 +
 +
 +
ii) För att bestämma minsta värdet hos <math> Q </math>
 +
skattar vi <math> Q </math> nedåt, dvs
 +
 +
 +
<center><math>
 +
Q=-y_1^2+2y_2^2+2y_3^2\geq -y_1^2-y_2^2-y_3^2
 +
=-\underbrace{(y_1^2+y_2^2+y_3^2)}_{=1}=-1,
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Vi får att <math> Q </math> antar sitt minsta värde <math> -2 </math> i punkterna
 +
<math> y_1=\pm1 </math>, <math> y_2=y_3=0 </math>.
 +
I gamla koordinater ges dessa punkter av
 +
 +
 +
<center><math>
 +
X=TY=\left(\begin{array}{rrr} -1/\sqrt3& 1/\sqrt2& 1\sqrt6\\
 +
1/\sqrt3& 0& 2\sqrt6\\
 +
1/\sqrt3& 1/\sqrt2& -1\sqrt6
 +
\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r} \pm 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)
 +
=\pm \frac{1}{\sqrt3}\left(\begin{array}{r}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<math> Q </math> antar alltså sitt minsta värde <math> -1 </math> i punkterna
 +
<math> \pm \frac{1}{\sqrt3}(-1,1,1) </math>.

Nuvarande version

Tips 1

Vi följer samma mönster som i föregående uppgift.

Tips 2

Vi följer samma mönster som i föregående uppgift.

Tips 3

Vi följer samma mönster som i föregående uppgift.

Lösning


Den kvadratiska formen kan skrivas på matrisform enligt


\displaystyle

Q=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3 =(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&-1\\1&-1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right) =X^tAX.


Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^t .

Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=-1 , \displaystyle \lambda_2=2 och \displaystyle \lambda_3=2 med tillhörande ON-bas av egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt3}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}-1\\1\\ 1\end{array}\right) , \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\0\\ 1\end{array}\right) , och \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt6}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 1\\2\\ -1\end{array}\right)


I kanonisk bas, dvs i ON-bas av egenvektorer och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY kan vi skriva


\displaystyle

Q=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3=-y_1^2+2y_2^2+2y_3^2.


Enhetssfären är återigen en enhetssfär även efter bytet till kanonisk bas, ty


\displaystyle

1=x_1^2+x_2^2+x_3^2=X^tX=(TY)^tTY=Y^tT^tTY=Y^tY=y_1^2+y_2^2+y_3^2.


i) För att bestämma största värdet hos \displaystyle Q skattar vi \displaystyle Q uppåt, dvs


\displaystyle

Q=-y_1^2+2y_2^2+2y_3^2\leq 2y_1^2+2y_2^2+2y_3^2 =2\underbrace{(y_1^2+y_2^2+y_3^2)}_{=1}=2,


Vi får alltså att \displaystyle Q :s största värde är 2 som antas i punkter på enhetscirkeln \displaystyle y_1=0 , \displaystyle y_2^2+y_3^2=1 . Vi kan också välja att beskriva enhetscirkeln som skärningen mellan planet \displaystyle y_1=0 och enhetssfären \displaystyle y_1^2 +y_2^2+y_3^2=1 . Vi ska nu gå tillbaka och skriva planet \displaystyle y_1=0 i dem gamla koordinaterna \displaystyle X=TY , där \displaystyle Y=T^tX och \displaystyle Y^t=X^tT .


Vi får


\displaystyle

\begin{array}{rcl} 0&=&y_1=(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right) =Y^t \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right) =X^tT \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\ &=&(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr} -1/\sqrt3& 1/\sqrt2& 1\sqrt6\\ 1/\sqrt3& 0& 2\sqrt6\\ 1/\sqrt3& 1/\sqrt2& -1\sqrt6 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\ &=&(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{c}-1/\sqrt3\\ 1\sqrt3\\1\sqrt3\end{array}\right) 

      =-\frac{1}{\sqrt3}x_1+\frac{1}{\sqrt3}x_2+\frac{1}{\sqrt3}x_3.

\end{array}


Därmed har vi visat att \displaystyle Q antar sitt största värde 4 på skärningen mellan planet \displaystyle x_1-x_2-x_3=0 och enhetssfären \displaystyle x_1^2 +x_2^2+x_3^2=1 . Man kan visa att denna skärning är en ellips.


ii) För att bestämma minsta värdet hos \displaystyle Q skattar vi \displaystyle Q nedåt, dvs


\displaystyle

Q=-y_1^2+2y_2^2+2y_3^2\geq -y_1^2-y_2^2-y_3^2 =-\underbrace{(y_1^2+y_2^2+y_3^2)}_{=1}=-1,


Vi får att \displaystyle Q antar sitt minsta värde \displaystyle -2 i punkterna \displaystyle y_1=\pm1 , \displaystyle y_2=y_3=0 . I gamla koordinater ges dessa punkter av


\displaystyle

X=TY=\left(\begin{array}{rrr} -1/\sqrt3& 1/\sqrt2& 1\sqrt6\\ 1/\sqrt3& 0& 2\sqrt6\\ 1/\sqrt3& 1/\sqrt2& -1\sqrt6 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} \pm 1\\ 0\\ 0\end{array}\right) =\pm \frac{1}{\sqrt3}\left(\begin{array}{r}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right).


\displaystyle Q antar alltså sitt minsta värde \displaystyle -1 i punkterna \displaystyle \pm \frac{1}{\sqrt3}(-1,1,1) .

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.29