Tips och lösning till U 22.29

Tips 1

Vi följer samma mönster som i föregående uppgift.

Tips 2

Vi följer samma mönster som i föregående uppgift.

Tips 3

Vi följer samma mönster som i föregående uppgift.

Lösning

Den kvadratiska formen kan skrivas på matrisform enligt

Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^t .

Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=-1 , \displaystyle \lambda_2=2 och \displaystyle \lambda_3=2 med tillhörande ON-bas av egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt3}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}-1\\1\\ 1\end{array}\right) , \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\0\\ 1\end{array}\right) , och \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt6}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 1\\2\\ -1\end{array}\right)

I kanonisk bas, dvs i ON-bas av egenvektorer och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY kan vi skriva

Enhetssfären är återigen en enhetssfär även efter bytet till kanonisk bas, ty

i) För att bestämma största värdet hos \displaystyle Q skattar vi \displaystyle Q uppåt, dvs

Vi får alltså att \displaystyle Q :s största värde är 2 som antas i punkter på enhetscirkeln \displaystyle y_1=0 , \displaystyle y_2^2+y_3^2=1 . Vi kan också välja att beskriva enhetscirkeln som skärningen mellan planet \displaystyle y_1=0 och enhetssfären \displaystyle y_1^2 +y_2^2+y_3^2=1 . Vi ska nu gå tillbaka och skriva planet \displaystyle y_1=0 i dem gamla koordinaterna \displaystyle X=TY , där \displaystyle Y=T^tX och \displaystyle Y^t=X^tT .

Vi får

      =-\frac{1}{\sqrt3}x_1+\frac{1}{\sqrt3}x_2+\frac{1}{\sqrt3}x_3.

Därmed har vi visat att \displaystyle Q antar sitt största värde 4 på skärningen mellan planet \displaystyle x_1-x_2-x_3=0 och enhetssfären \displaystyle x_1^2 +x_2^2+x_3^2=1 . Man kan visa att denna skärning är en ellips.

ii) För att bestämma minsta värdet hos \displaystyle Q skattar vi \displaystyle Q nedåt, dvs

Vi får att \displaystyle Q antar sitt minsta värde \displaystyle -2 i punkterna \displaystyle y_1=\pm1 , \displaystyle y_2=y_3=0 . I gamla koordinater ges dessa punkter av

\displaystyle Q antar alltså sitt minsta värde \displaystyle -1 i punkterna \displaystyle \pm \frac{1}{\sqrt3}(-1,1,1) .