Tips och lösning till U 22.2a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (16 november 2010 kl. 16.48) (redigera) (ogör)
 
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Observera att du bara skall kontrollera om vektorn r en egenvektor med det angivna egenvärdet!
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Det betyder att vi inte skall lösa sekularekvationen utan bara kontrollera att <math>AX=\lambda X.
 +
</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Dvs du skall beräkna <math>\underline{\boldsymbol{e}} \left( \begin{array}{rrr} 1& -1& -1 \\ -2& 0& 1 \\ 2& 2& 1 \end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''

Nuvarande version

Tips 1

Observera att du bara skall kontrollera om vektorn r en egenvektor med det angivna egenvärdet!

Tips 2

Det betyder att vi inte skall lösa sekularekvationen utan bara kontrollera att \displaystyle AX=\lambda X.

Tips 3

Dvs du skall beräkna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} \left( \begin{array}{rrr} 1& -1& -1 \\ -2& 0& 1 \\ 2& 2& 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)

Lösning


Talet \displaystyle \lambda kallas ett egenvärde med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}X om

\displaystyle

F(\boldsymbol{v})=\lambda\boldsymbol{v}\Leftrightarrow 

     F(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}X\Leftrightarrow\underline{\boldsymbol{e}}AX=\underline{\boldsymbol{e}}\lambda X\Leftrightarrow AX=\lambda X.

Eftersom

\displaystyle

F(\boldsymbol{v}_1)=F\left(\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)\right)= \underline{\boldsymbol{e}} \left( \begin{array}{rrr} 1& -1& -1 \\ -2& 0& 1 \\ 2& 2& 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) =1\cdot\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right),

så är \displaystyle \lambda_1=1 ett egenvärde med tillhörande egenvektor \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}(1,-1,1)^t till \displaystyle F .

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.2a