Tips och lösning till U 22.30a
SamverkanLinalgLIU
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''') |
|||
Rad 13: | Rad 13: | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Den kvadratiska formen kan skrivas på matrisform enligt | ||
+ | <center><math> | ||
+ | Q=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3 | ||
+ | =(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}\right) | ||
+ | \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)=X^tAX. | ||
+ | </math></center> | ||
+ | |||
+ | Eftersom <math>A</math> är symmetrisk så följer av spektralsatsen att <math>A</math> är | ||
+ | diagonaliserbar, dvs <math>A=TDT^t</math>. | ||
+ | Egenvärdena till <math>A</math> är <math>\lambda_1=0</math> och <math>\lambda_2=\lambda_3=3</math>. | ||
+ | |||
+ | Tillhörande ON-bas av egenvektorer | ||
+ | <math>\boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt3}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\1\\ 1\end{array}\right)</math>, | ||
+ | <math>\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt6}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\-2\\ 1\end{array}\right)</math>, | ||
+ | och | ||
+ | <math>\boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt2}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 1\\0\\ -1\end{array}\right)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | I kanonisk bas, dvs i ON-bas av egenvektorer och med | ||
+ | nya koordinater <math>Y</math>, där <math>X=TY</math> kan vi skriva | ||
+ | <center><math> | ||
+ | Q=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=3y_2^2+3y_3^2. | ||
+ | </math></center> | ||
+ | Alltså är <math>Q=3y_2^2+3y_3^2</math>. |
Versionen från 20 september 2010 kl. 14.22
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Den kvadratiska formen kan skrivas på matrisform enligt
Q=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3 =(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)=X^tAX.
Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^t. Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=0 och \displaystyle \lambda_2=\lambda_3=3.
Tillhörande ON-bas av egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt3}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\1\\ 1\end{array}\right), \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt6}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\-2\\ 1\end{array}\right), och \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt2}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 1\\0\\ -1\end{array}\right).
I kanonisk bas, dvs i ON-bas av egenvektorer och med
nya koordinater \displaystyle Y, där \displaystyle X=TY kan vi skriva
Q=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=3y_2^2+3y_3^2.
Alltså är \displaystyle Q=3y_2^2+3y_3^2.