Tips och lösning till U 22.30a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Nuvarande version (6 december 2010 kl. 19.22) (redigera) (ogör)
 
(2 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Vi börjar med att skriva om den kvadratiska formen i matrisform.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Den symmetriska matrisen kan diagonaliseras i en ON-bas av egenvektorer enl Spektralsatsen.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Detta leder till att Q kan skrivas om i formen <center><math>
 +
Q=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=3y_2^2+3y_3^2.
 +
</math></center> Q är alltså en cylinder med en cirkel som tvärsnitt. Rita gärna en figur.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
 +
Den kvadratiska formen kan skrivas på matrisform enligt
 +
<center><math>
 +
Q=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3
 +
=(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)=X^tAX.
 +
</math></center>
 +
 +
Eftersom <math>A</math> är symmetrisk så följer av spektralsatsen att <math>A</math> är
 +
diagonaliserbar, dvs <math>A=TDT^t</math>.
 +
Egenvärdena till <math>A</math> är <math>\lambda_1=0</math> och <math>\lambda_2=\lambda_3=3</math>.
 +
 +
Tillhörande ON-bas av egenvektorer
 +
<math>\boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt3}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\1\\ 1\end{array}\right)</math>,
 +
<math>\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt6}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\-2\\ 1\end{array}\right)</math>,
 +
och
 +
<math>\boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt2}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 1\\0\\ -1\end{array}\right)</math>.
 +
 +
 +
I kanonisk bas, dvs i ON-bas av egenvektorer och med
 +
nya koordinater <math>Y</math>, där <math>X=TY</math> kan vi skriva
 +
<center><math>
 +
Q=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=3y_2^2+3y_3^2.
 +
</math></center>
 +
Alltså är <math>Q=3y_2^2+3y_3^2</math>.

Nuvarande version

Tips 1

Vi börjar med att skriva om den kvadratiska formen i matrisform.

Tips 2

Den symmetriska matrisen kan diagonaliseras i en ON-bas av egenvektorer enl Spektralsatsen.

Tips 3

Detta leder till att Q kan skrivas om i formen
\displaystyle

Q=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=3y_2^2+3y_3^2.

Q är alltså en cylinder med en cirkel som tvärsnitt. Rita gärna en figur.

Lösning


Den kvadratiska formen kan skrivas på matrisform enligt

\displaystyle

Q=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3 =(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)=X^tAX.

Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^t. Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=0 och \displaystyle \lambda_2=\lambda_3=3.

Tillhörande ON-bas av egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt3}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\1\\ 1\end{array}\right), \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt6}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\-2\\ 1\end{array}\right), och \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt2}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 1\\0\\ -1\end{array}\right).


I kanonisk bas, dvs i ON-bas av egenvektorer och med nya koordinater \displaystyle Y, där \displaystyle X=TY kan vi skriva

\displaystyle

Q=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=3y_2^2+3y_3^2.

Alltså är \displaystyle Q=3y_2^2+3y_3^2.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.30a