Tips och lösning till U 22.30b

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (6 december 2010 kl. 19.57) (redigera) (ogör)
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Sätt upp den ekvation som gör att Q blir noll och sök lösningar till densamma.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Vi skall alltså lösa ekvationen
 +
<center><math>
 +
Q=0\Leftrightarrow 3y_2^2+3y_3^2=0
 +
</math></center>
 +
 
 +
Vi ser att en variabel (<math>y_1</math>) inte finns med och den kan då väljas godtyckligt. Vi får då lösningen <math>y_2=y_3=0</math> och <math>y_1=t</math> är godtycklig.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Det återstår nu att återföra detta resultat till den ursprungliga basen:
 +
 
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}Y=(\boldsymbol{f}_1\ \boldsymbol{f}_2\ \boldsymbol{f}_3)
 +
\left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=
 +
(\boldsymbol{f}_1\ \boldsymbol{f}_2\
 +
\boldsymbol{f}_3)\left(\begin{array}{r}t\\0\\0\end{array}\right)=t\boldsymbol{f}_1.
 +
</math></center> Genom av vi tidigare har beräknat <math>\boldsymbol{f}_1</math> kan vi erhålla resultatet i den ursprungliga basen.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
Rad 26: Rad 38:
\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}Y=(\boldsymbol{f}_1\ \boldsymbol{f}_2\ \boldsymbol{f}_3)
\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}Y=(\boldsymbol{f}_1\ \boldsymbol{f}_2\ \boldsymbol{f}_3)
\left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=
-
\{\boldsymbol{f}_1\ \boldsymbol{f}_2\
+
(\boldsymbol{f}_1\ \boldsymbol{f}_2\
-
\boldsymbol{f}_3\}\left(\begin{array}{r}t\\0\\0\end{array}\right)=t\boldsymbol{f}_1.
+
\boldsymbol{f}_3)\left(\begin{array}{r}t\\0\\0\end{array}\right)=t\boldsymbol{f}_1.
</math></center>
</math></center>

Nuvarande version

Tips 1

Sätt upp den ekvation som gör att Q blir noll och sök lösningar till densamma.

Tips 2

Vi skall alltså lösa ekvationen

\displaystyle

Q=0\Leftrightarrow 3y_2^2+3y_3^2=0

Vi ser att en variabel (\displaystyle y_1) inte finns med och den kan då väljas godtyckligt. Vi får då lösningen \displaystyle y_2=y_3=0 och \displaystyle y_1=t är godtycklig.

Tips 3

Det återstår nu att återföra detta resultat till den ursprungliga basen:

\displaystyle

\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}Y=(\boldsymbol{f}_1\ \boldsymbol{f}_2\ \boldsymbol{f}_3) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)= (\boldsymbol{f}_1\ \boldsymbol{f}_2\ \boldsymbol{f}_3)\left(\begin{array}{r}t\\0\\0\end{array}\right)=t\boldsymbol{f}_1.

Genom av vi tidigare har beräknat \displaystyle \boldsymbol{f}_1 kan vi erhålla resultatet i den ursprungliga basen.

Lösning


Nollställena för \displaystyle Q i den nya basen ges av

\displaystyle

Q=0\Leftrightarrow 3y_2^2+3y_3^2=0

för \displaystyle y_2=y_3=0 och \displaystyle y_1=t är godtycklig. I den nya basen ges alltså nollställen \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}Y till \displaystyle Q av

\displaystyle

\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}Y=(\boldsymbol{f}_1\ \boldsymbol{f}_2\ \boldsymbol{f}_3) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)= (\boldsymbol{f}_1\ \boldsymbol{f}_2\ \boldsymbol{f}_3)\left(\begin{array}{r}t\\0\\0\end{array}\right)=t\boldsymbol{f}_1.

Eftersom \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt3}(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3) så ges nollställena i den gamla basen av

\displaystyle

\boldsymbol{u}=t \frac{1}{\sqrt3}(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3).

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.30b