Tips och lösning till U 22.30c

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Nuvarande version (6 december 2010 kl. 20.05) (redigera) (ogör)
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Vi vet från den kanoniska basens framställning av ytan att det är en rät cirkulär cylinder. Rita figur om du inte redan gjort det!
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Om vi skär snitt vinkelrätt mot symmetriaxeln får vi cirklar.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Detta plan har ekvationen <math>y_1=C</math> som vi överför till den gamla basen <center><math>
 +
\begin{array}{rcl}
 +
C&=&y_1=(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)
 +
=Y^t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)=
 +
X^tT \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)\\
 +
&=&(x_1\ x_2\ x_3)
 +
\left(\begin{array}{rrr}1/\sqrt3&1/\sqrt6&1/\sqrt2\\
 +
1/\sqrt3&-2/\sqrt6&0\\
 +
1/\sqrt3&1/\sqrt6&-1/\sqrt2
 +
\end{array}\right)
 +
=\frac{1}{\sqrt3}(x_1+x_2+x_3)
 +
\end{array}</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
 +
Ytan <math>Q</math> beskriver en rak cirkulär cylinder med radie <math>\sqrt3</math> och
 +
där <math>y_1</math>-axeln är cylinderns symmetriaxel. Varje plan <math>y_1=C</math>, där <math>C</math> är
 +
konstant, som är parallell med <math>y_2y_3</math>-planet skär cylindern under
 +
rät vinkel. I gamla basen har planet <math>y_1=C</math> koordinatena
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\begin{array}{rcl}
 +
C&=&y_1=(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)
 +
=Y^t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)=
 +
X^tT \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)\\
 +
&=&(x_1\ x_2\ x_3)
 +
\left(\begin{array}{rrr}1/\sqrt3&1/\sqrt6&1/\sqrt2\\
 +
1/\sqrt3&-2/\sqrt6&0\\
 +
1/\sqrt3&1/\sqrt6&-1/\sqrt2
 +
\end{array}\right)
 +
=\frac{1}{\sqrt3}(x_1+x_2+x_3)
 +
\end{array}
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Om vi sätter <math>D=C\sqrt3</math>, så får vi att varje plan av typen <math>x_1+x_2+x_3=D</math> skär cylindern <math>Q</math> under rät vinkel.

Nuvarande version

Tips 1

Vi vet från den kanoniska basens framställning av ytan att det är en rät cirkulär cylinder. Rita figur om du inte redan gjort det!

Tips 2

Om vi skär snitt vinkelrätt mot symmetriaxeln får vi cirklar.

Tips 3

Detta plan har ekvationen \displaystyle y_1=C som vi överför till den gamla basen
\displaystyle

\begin{array}{rcl} C&=&y_1=(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) =Y^t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)= X^tT \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)\\ &=&(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}1/\sqrt3&1/\sqrt6&1/\sqrt2\\ 1/\sqrt3&-2/\sqrt6&0\\ 1/\sqrt3&1/\sqrt6&-1/\sqrt2 \end{array}\right) =\frac{1}{\sqrt3}(x_1+x_2+x_3) \end{array}

Lösning


Ytan \displaystyle Q beskriver en rak cirkulär cylinder med radie \displaystyle \sqrt3 och där \displaystyle y_1-axeln är cylinderns symmetriaxel. Varje plan \displaystyle y_1=C, där \displaystyle C är konstant, som är parallell med \displaystyle y_2y_3-planet skär cylindern under rät vinkel. I gamla basen har planet \displaystyle y_1=C koordinatena


<center>\displaystyle \begin{array}{rcl} C&=&y_1=(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) =Y^t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)= X^tT \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)\\ &=&(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}1/\sqrt3&1/\sqrt6&1/\sqrt2\\ 1/\sqrt3&-2/\sqrt6&0\\ 1/\sqrt3&1/\sqrt6&-1/\sqrt2 \end{array}\right) =\frac{1}{\sqrt3}(x_1+x_2+x_3) \end{array}


Om vi sätter \displaystyle D=C\sqrt3, så får vi att varje plan av typen \displaystyle x_1+x_2+x_3=D skär cylindern \displaystyle Q under rät vinkel.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.30c