Tips och lösning till U 22.30c
SamverkanLinalgLIU
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | + | Vi vet från den kanoniska basens framställning av ytan att det är en rät cirkulär cylinder. Rita figur om du inte redan gjort det! | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | Om vi skär snitt vinkelrätt mot symmetriaxeln får vi cirklar. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | Detta plan har ekvationen <math>y_1=C</math> som vi överför till den gamla basen <center><math> | |
| + | \begin{array}{rcl} | ||
| + | C&=&y_1=(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) | ||
| + | =Y^t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)= | ||
| + | X^tT \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)\\ | ||
| + | &=&(x_1\ x_2\ x_3) | ||
| + | \left(\begin{array}{rrr}1/\sqrt3&1/\sqrt6&1/\sqrt2\\ | ||
| + | 1/\sqrt3&-2/\sqrt6&0\\ | ||
| + | 1/\sqrt3&1/\sqrt6&-1/\sqrt2 | ||
| + | \end{array}\right) | ||
| + | =\frac{1}{\sqrt3}(x_1+x_2+x_3) | ||
| + | \end{array}</math> | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
Nuvarande version
Tips 1
Vi vet från den kanoniska basens framställning av ytan att det är en rät cirkulär cylinder. Rita figur om du inte redan gjort det!
Tips 2
Om vi skär snitt vinkelrätt mot symmetriaxeln får vi cirklar.
Tips 3
Detta plan har ekvationen \displaystyle y_1=C som vi överför till den gamla basen\begin{array}{rcl} C&=&y_1=(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) =Y^t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)= X^tT \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)\\ &=&(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}1/\sqrt3&1/\sqrt6&1/\sqrt2\\ 1/\sqrt3&-2/\sqrt6&0\\ 1/\sqrt3&1/\sqrt6&-1/\sqrt2 \end{array}\right) =\frac{1}{\sqrt3}(x_1+x_2+x_3) \end{array}
Lösning
Ytan \displaystyle Q beskriver en rak cirkulär cylinder med radie \displaystyle \sqrt3 och där \displaystyle y_1-axeln är cylinderns symmetriaxel. Varje plan \displaystyle y_1=C, där \displaystyle C är konstant, som är parallell med \displaystyle y_2y_3-planet skär cylindern under rät vinkel. I gamla basen har planet \displaystyle y_1=C koordinatena
<center>\displaystyle
\begin{array}{rcl}
C&=&y_1=(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)
=Y^t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)=
X^tT \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)\\
&=&(x_1\ x_2\ x_3)
\left(\begin{array}{rrr}1/\sqrt3&1/\sqrt6&1/\sqrt2\\
1/\sqrt3&-2/\sqrt6&0\\
1/\sqrt3&1/\sqrt6&-1/\sqrt2
\end{array}\right)
=\frac{1}{\sqrt3}(x_1+x_2+x_3)
\end{array}
Om vi sätter \displaystyle D=C\sqrt3, så får vi att varje plan av typen \displaystyle x_1+x_2+x_3=D skär cylindern \displaystyle Q under rät vinkel.
