Tips och lösning till U 22.32

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Rad 13: Rad 13:
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
 +
Ekvationssystemet kan skrivas <math> \boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y} </math>, där
 +
<math> A=\left(\begin{array}{rr}1&1\\3&-1\end{array}\right) </math>.
 +
Matrisen <math> A </math> har egenvärdena <math> \lambda_{1}=-2 </math> och <math> \lambda_{2}=2 </math> med tillhörande
 +
egenvektorer <math> \boldsymbol{v}_{1}=(1,-3)^t </math> resp. <math> \boldsymbol{v}_{2}=(1,1)^t </math>.
 +
 +
 +
Eftersom <math> \boldsymbol{v}_{1} </math> och <math> \boldsymbol{v}_{2} </math> är linjärt oberoende säger Sats 18.15 att <math> A </math> är
 +
diagonaliserbar, dvs <math> A=TDT^{-1} </math>.
 +
 +
 +
Substitutionen <math> \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z} </math> ger att
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y}\Leftrightarrow\boldsymbol{y}'=TDT^{-1}\boldsymbol{y}\Leftrightarrow T^{-1}\boldsymbol{y}'=DT^{-1}\boldsymbol{y}
 +
\Leftrightarrow\boldsymbol{z}'=D\boldsymbol{z}\Leftrightarrow
 +
\left\{\begin{array}{lcl}z'_1(t)&=&-2z_1(t)\\z'_2(t)&=&2z_2(t)\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
som har lösningen <math> z_1=c_e^{-2t} </math>, <math> z_2=c_2e^{2t} </math>.
 +
 +
Allmän lösning är alltså <math> \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z} </math>, dvs
 +
 +
 +
<center><math>
 +
y_1(t)=c_1e^{-2t}+c_2e^{2t},\qquad y_2(t)=-3c_1e^{-2t}+c_2e^{2t}.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Vi bestämmer nu den speciella lösningen som uppfyller begynnelsevillkoret
 +
<math> y_1(0)=1 </math>, <math> y_2(0)=0 </math>. Vi har
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{rcl}y_1(0)&=&1\\y_2(0)&=&0\end{array}\right.
 +
\Leftrightarrow
 +
\left\{\begin{array}{rcl}c_1+c_2&=&1\\-3c_1+c_2&=&0\end{array}\right.
 +
\Leftrightarrow
 +
\left\{\begin{array}{rcl}c_1&=&1/4\\c_2&=&3/4\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
är <math> y_1(t)=\frac{1}{4}e^{-2t}+\frac{3}{4}e^{2t} </math> och <math> y_2(t)=-\frac{3}{4}e^{-2t}+\frac{3}{4}e^{2t} </math>.

Versionen från 20 september 2010 kl. 09.36

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Ekvationssystemet kan skrivas \displaystyle \boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y} , där \displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1&1\\3&-1\end{array}\right) . Matrisen \displaystyle A har egenvärdena \displaystyle \lambda_{1}=-2 och \displaystyle \lambda_{2}=2 med tillhörande egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{v}_{1}=(1,-3)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_{2}=(1,1)^t .


Eftersom \displaystyle \boldsymbol{v}_{1} och \displaystyle \boldsymbol{v}_{2} är linjärt oberoende säger Sats 18.15 att \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^{-1} .


Substitutionen \displaystyle \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z} ger att


\displaystyle

\boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y}\Leftrightarrow\boldsymbol{y}'=TDT^{-1}\boldsymbol{y}\Leftrightarrow T^{-1}\boldsymbol{y}'=DT^{-1}\boldsymbol{y} 

       \Leftrightarrow\boldsymbol{z}'=D\boldsymbol{z}\Leftrightarrow
       \left\{\begin{array}{lcl}z'_1(t)&=&-2z_1(t)\\z'_2(t)&=&2z_2(t)\end{array}\right.


som har lösningen \displaystyle z_1=c_e^{-2t} , \displaystyle z_2=c_2e^{2t} .

Allmän lösning är alltså \displaystyle \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z} , dvs


\displaystyle

y_1(t)=c_1e^{-2t}+c_2e^{2t},\qquad y_2(t)=-3c_1e^{-2t}+c_2e^{2t}.


Vi bestämmer nu den speciella lösningen som uppfyller begynnelsevillkoret \displaystyle y_1(0)=1 , \displaystyle y_2(0)=0 . Vi har


\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcl}y_1(0)&=&1\\y_2(0)&=&0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}c_1+c_2&=&1\\-3c_1+c_2&=&0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}c_1&=&1/4\\c_2&=&3/4\end{array}\right.


är \displaystyle y_1(t)=\frac{1}{4}e^{-2t}+\frac{3}{4}e^{2t} och \displaystyle y_2(t)=-\frac{3}{4}e^{-2t}+\frac{3}{4}e^{2t} .

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.32