Tips och lösning till U 22.32

Tips 1

Vi skall lösa ett system av differentialekvationer med ett begynnelsevillkor.

Tips 2

Vi följer följande steg:

1. Skriv om ekvationssystemet i matrisform.

2. Diagonalisera matrisen och lös det nya ekvationssystemet. I detta system är de två funktionerna som skall beräknas separerade så att de är i olika ekvationer. Det är detta som gör att det är relativt lätt att lösa ekvationssystemet.

3.Överför slutligen resultatet till den gamla basen och bestäm konstaterna med hjälp av begynnelsevillkoret.

Tips 3

De olika stegen ger resultatet:

Lösning

Ekvationssystemet kan skrivas \displaystyle \boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y} , där \displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1&1\\3&-1\end{array}\right) . Matrisen \displaystyle A har egenvärdena \displaystyle \lambda_{1}=-2 och \displaystyle \lambda_{2}=2 med tillhörande egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{v}_{1}=(1,-3)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_{2}=(1,1)^t .

Eftersom \displaystyle \boldsymbol{v}_{1} och \displaystyle \boldsymbol{v}_{2} är linjärt oberoende säger Sats 18.15 att \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^{-1} .

Substitutionen \displaystyle \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z} ger att

<center>\displaystyle \boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y}\Leftrightarrow\boldsymbol{y}'=TDT^{-1}\boldsymbol{y}\Leftrightarrow T^{-1}\boldsymbol{y}'=DT^{-1}\boldsymbol{y}

       \Leftrightarrow\boldsymbol{z}'=D\boldsymbol{z}\Leftrightarrow
       \left\{\begin{array}{lcl}z'_1(t)&=&-2z_1(t)\\z'_2(t)&=&2z_2(t)\end{array}\right.

som har lösningen \displaystyle z_1=c_e^{-2t} , \displaystyle z_2=c_2e^{2t} .

Allmän lösning är alltså \displaystyle \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z} , dvs

Vi bestämmer nu den speciella lösningen som uppfyller begynnelsevillkoret \displaystyle y_1(0)=1 , \displaystyle y_2(0)=0 . Vi har

är \displaystyle y_1(t)=\frac{1}{4}e^{-2t}+\frac{3}{4}e^{2t} och \displaystyle y_2(t)=-\frac{3}{4}e^{-2t}+\frac{3}{4}e^{2t} .