Tips och lösning till U 22.33
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Ekvationssystemet kan skrivas på formen \displaystyle \boldsymbol{y}'(t)=A\boldsymbol{y}(t) , där \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 2&6&0\\ 3&0&6\\ 0&5&2 \end{array}\right) .
Enligt Exempel 18.6 så har matrisen linjärt oberoende
egenvektorer
\displaystyle \boldsymbol{v}_1=\left(\begin{array}{r}6\\-8\\5\end{array}\right) ,
\displaystyle \boldsymbol{v}_2=\left(\begin{array}{rrr}-2\\0\\1\end{array}\right)
och
\displaystyle \boldsymbol{v}_3=\left(\begin{array}{rrr}6\\6\\5\end{array}\right) .
Detta betyder att matrisen \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs
\displaystyle A=TDT^{-1} ,
där \displaystyle D=\left(\begin{array}{rrr}-6&0&0\\0&2&0\\0&0&8\end{array}\right) och
\displaystyle T=\left(\begin{array}{rrr}6&-2&6\\-8&0&6\\5&1&5\end{array}\right) .
Vi byter till en bas av egenvektorer och då kan systemet skrivas
\boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \boldsymbol{y}'=TDT^{-1}\boldsymbol{y} \Leftrightarrow T^{-1}\boldsymbol{y}'=DT^{-1}\boldsymbol{y}.
Sätter vi nu \displaystyle \boldsymbol{z}=T^{-1}\boldsymbol{y} , dvs \displaystyle \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z} får vi en ny ekvation:
\boldsymbol{z}'=D\boldsymbol{z}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{lcl} z'_1&=&-6z_1\\ z'_2&=&2z_2\\ z'_3&=&8z_3 \end{array} \right. \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lcl} z_1&=&c_1e^{-6t}\\ z_2&=&c_2e^{2t}\\ z_3&=&c_3e^{8t} \end{array} \right.
Vi går tillbaka och löser ut \displaystyle \boldsymbol{y} :
\boldsymbol{y}(t)=T\boldsymbol{z}(t) =\left(\begin{array}{rrr}6&-2&6\\-8&0&6\\5&1&5\end{array}\right)
\left(\begin{array}{l}c_1e^{-6t}\\c_2e^{2t}\\c_3e^{8t}\end{array}\right).
Lösningen kan skrivas på vektorform
\displaystyle \left(\begin{array}{r}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\\y_{3}(t)\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{l}c_16e^{-6t}-2c_2e^{2t}+6c_3e^{8t}
\\-8c_16e^{-6t}+6c_3e^{8t}
\\5c_16e^{-6t}+c_2e^{2t}+5c_3e^{8t}\end{array}\right),
eller på komponentvis
\displaystyle y_{1}(t)=c_16e^{-6t}-2c_2e^{2t}+6c_3e^{8t} ,
\displaystyle y_{2}(t)=-8c_16e^{-6t}+6c_3e^{8t}
och \displaystyle y_{3}(t)=5c_16e^{-6t}+c_2e^{2t}+5c_3e^{8t} .
Begynnelsevillkoret ger
\displaystyle \boldsymbol{y}(0)=T\boldsymbol{z}(0)
=\left(\begin{array}{rrr}6&-2&6\\-8&0&6\\5&1&5\end{array}\right)
\left(\begin{array}{r}c_1\\c_2\\c_3\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{r}0\\14\\56\end{array}\right) .
Löser vi detta ekvationssystem så får vi
\displaystyle c_{1}=2 , \displaystyle c_{2}=21 och \displaystyle c_{3}=5 .
Speciella lösningen är då
\displaystyle y_{1}(t)=12e^{-6t}-42e^{2t}+30e^{8t} ,
\displaystyle y_{2}(t)=-16e^{-6t}+30e^{8t}
och
\displaystyle y_{3}(t)=10e^{-6t}+21e^{2t}+25e^{8t} .
