Tips och lösning till U 22.33
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi har nu ett system med tre ekvationer och tre funktioner som vi söker.
Tips 2
Vi följer följande steg:
1. Skriv om ekvationssystemet i matrisform.
2. Diagonalisera matrisen och gör en "listig" substitution i form av ett funktionsbyte. Lös sedan det nya ekvationssystemet. I detta system är de två funktionerna som skall beräknas separerade så att de är i olika ekvationer. Det är detta som gör att det är relativt lätt att lösa ekvationssystemet.
3. Överför slutligen resultatet till den gamla basen och bestäm konstaterna med hjälp av begynnelsevillkoret.
Tips 3
Vi får då följande resultat under de tre punkterna ovan:
1. Ekvationssystemet kan skrivas på formen \displaystyle \boldsymbol{y}'(t)=A\boldsymbol{y}(t) , där \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 2&6&0\\ 3&0&6\\ 0&5&2 \end{array}\right) .
2. Vi byter till en bas av egenvektorer och då kan systemet skrivas
\boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \boldsymbol{y}'=TDT^{-1}\boldsymbol{y} \Leftrightarrow T^{-1}\boldsymbol{y}'=DT^{-1}\boldsymbol{y}.
\boldsymbol{z}'=D\boldsymbol{z}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{lcl} z'_1&=&-6z_1\\ z'_2&=&2z_2\\ z'_3&=&8z_3 \end{array} \right. \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lcl} z_1&=&c_1e^{-6t}\\ z_2&=&c_2e^{2t}\\ z_3&=&c_3e^{8t} \end{array} \right.
3. Vi går tillbaka och löser ut \displaystyle \boldsymbol{y} :
\boldsymbol{y}(t)=T\boldsymbol{z}(t) =\left(\begin{array}{rrr}6&-2&6\\-8&0&6\\5&1&5\end{array}\right)
\left(\begin{array}{l}c_1e^{-6t}\\c_2e^{2t}\\c_3e^{8t}\end{array}\right).
Slutligen inför vi begynnelsevillkoren för att bestämma konstanterna och avslutar med att pröva att våra funktioner uppfyller den givna ekvationssystemet.
Lösning
Ekvationssystemet kan skrivas på formen \displaystyle \boldsymbol{y}'(t)=A\boldsymbol{y}(t) , där \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 2&6&0\\ 3&0&6\\ 0&5&2 \end{array}\right) .
Enligt Exempel 18.6 så har matrisen linjärt oberoende
egenvektorer
\displaystyle \boldsymbol{v}_1=\left(\begin{array}{r}6\\-8\\5\end{array}\right) ,
\displaystyle \boldsymbol{v}_2=\left(\begin{array}{rrr}-2\\0\\1\end{array}\right)
och
\displaystyle \boldsymbol{v}_3=\left(\begin{array}{rrr}6\\6\\5\end{array}\right) .
Detta betyder att matrisen \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs
\displaystyle A=TDT^{-1} ,
där \displaystyle D=\left(\begin{array}{rrr}-6&0&0\\0&2&0\\0&0&8\end{array}\right) och
\displaystyle T=\left(\begin{array}{rrr}6&-2&6\\-8&0&6\\5&1&5\end{array}\right) .
Vi byter till en bas av egenvektorer och då kan systemet skrivas
\boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \boldsymbol{y}'=TDT^{-1}\boldsymbol{y} \Leftrightarrow T^{-1}\boldsymbol{y}'=DT^{-1}\boldsymbol{y}.
Sätter vi nu \displaystyle \boldsymbol{z}=T^{-1}\boldsymbol{y} , dvs \displaystyle \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z} får vi en ny ekvation:
\boldsymbol{z}'=D\boldsymbol{z}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{lcl} z'_1&=&-6z_1\\ z'_2&=&2z_2\\ z'_3&=&8z_3 \end{array} \right. \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lcl} z_1&=&c_1e^{-6t}\\ z_2&=&c_2e^{2t}\\ z_3&=&c_3e^{8t} \end{array} \right.
Vi går tillbaka och löser ut \displaystyle \boldsymbol{y} :
\boldsymbol{y}(t)=T\boldsymbol{z}(t) =\left(\begin{array}{rrr}6&-2&6\\-8&0&6\\5&1&5\end{array}\right)
\left(\begin{array}{l}c_1e^{-6t}\\c_2e^{2t}\\c_3e^{8t}\end{array}\right).
Lösningen kan skrivas på vektorform
\displaystyle \left(\begin{array}{r}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\\y_{3}(t)\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{l}c_16e^{-6t}-2c_2e^{2t}+6c_3e^{8t}
\\-8c_16e^{-6t}+6c_3e^{8t}
\\5c_16e^{-6t}+c_2e^{2t}+5c_3e^{8t}\end{array}\right),
eller på komponentvis
\displaystyle y_{1}(t)=c_16e^{-6t}-2c_2e^{2t}+6c_3e^{8t} ,
\displaystyle y_{2}(t)=-8c_16e^{-6t}+6c_3e^{8t}
och \displaystyle y_{3}(t)=5c_16e^{-6t}+c_2e^{2t}+5c_3e^{8t} .
Begynnelsevillkoret ger
\displaystyle \boldsymbol{y}(0)=T\boldsymbol{z}(0)
=\left(\begin{array}{rrr}6&-2&6\\-8&0&6\\5&1&5\end{array}\right)
\left(\begin{array}{r}c_1\\c_2\\c_3\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{r}0\\14\\56\end{array}\right) .
Löser vi detta ekvationssystem så får vi
\displaystyle c_{1}=2 , \displaystyle c_{2}=21 och \displaystyle c_{3}=5 .
Speciella lösningen är då
\displaystyle y_{1}(t)=12e^{-6t}-42e^{2t}+30e^{8t} ,
\displaystyle y_{2}(t)=-16e^{-6t}+30e^{8t}
och
\displaystyle y_{3}(t)=10e^{-6t}+21e^{2t}+25e^{8t} .
